全概率公式贝叶斯公式推导过程

Posted 2021-01-09 justin-tim

 

（1）条件概率公式

        设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：

                     P(A|B)=P(AB)/P(B)

 

（2）乘法公式

         1.由条件概率公式得：

                       P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)    

             上式即为乘法公式；

         2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A₁A₂...A_n-1) > 0 时，有：

                 P(A₁A₂...A_n-1A_n)=P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁A₂)...P(A_n|A₁A₂...A_n-1)

                 

  （3）全概率公式

        1. 如果事件组B₁，B₂，.... 满足

               1.B₁，B₂....两两互斥，即 B_i ∩ B_j = ? ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(B_i)>0,i=1,2,....;

               2.B₁∪B₂∪....=Ω ，则称事件组 B₁,B₂,...是样本空间Ω的一个划分

          设 B₁,B₂,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：

 

           上式即为全概率公式（formula of total probability)

       2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B_i),P(A|B_i)  (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B₁,B₂,...B_n,这样事件A就被事件AB₁,AB₂,...AB_n分解成了n部分，即A=AB₁+AB₂+...+AB_n, 每一B_i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B_i)，由加法公式得

         P(A)=P(AB₁)+P(AB₂)+....+P(AB_n)

               =P(A|B₁)P(B₁)+P(A|B₂)P(B₂)+...+P(A|B_n)P(PB_n)

        3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

                解：设.....     P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345

 

    （4）贝叶斯公式

      1.与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率），设B₁,B₂,...是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0),有

               

         上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)，B_i 常被视为导致试验结果A发生的”原因“，P(B_i)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；P(B_i|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率。

      2.实例：发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“∪”和“—”。由于通信系统受到干扰，当发出信号“∪”时，收报台分别以概率0.8和0.2受到信号“∪”和“—”；又当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“∪”。求当收报台收到信号“∪”时，发报台确系发出“∪”的概率。

         解：设....， P(B₁|A）= (0.6*0.8)/(0.6*0.8+0.4*0.1)=0.923