数论一点点总结

Posted 2021-01-09 gzr2018

数论基础

最大公约数Gcd

int gcd(int a, int b) //a大于b
{
    return a % b == 0 ? b : gcd(b, a % b);
}

最小公倍数Lcm

int Lcm(int a,int b)
{
return a/gcd(a,b)*b;
}

费马小定理

费马小定理（Fermat Theory）是数论中的一个重要定理，其内容为：假设p是质数（素数），且
Gcd（a,p）=1,那么a^(p-1) ≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。该定理是1636年皮埃尔·德·费马发现的。

唯一分解定理

算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。（素数的分解方法唯一）
G - Pairs Forming LCM（例题）

拓展的欧几里得算法

素数定理

Eratosthenes筛法

逆元(inv)

1.什么是逆元

当求解公式：(a/b)%m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法：
设c是b的逆元，则有bc≡1(mod m)；
则(a/b)%m = (a/b)1%m = (a/b)bc%m = ac(mod m);
即a/b的模等于ab的逆元的模；
逆元就是这样应用的

2.求逆元的方法

(1).费马小定理

在是素数的情况下，对任意整数都有。 如果无法被整除，则有。 可以在为素数的情况下求出一个数的逆元，，即为逆元。
题目中的数据范围1<=x<=10^9，p=1000000007，p是素数；
所以x肯定就无法被p整除啊，所以最后就得出x^(p-2)为x的逆元啦。
复杂度O(logn)

const int mod = 1000000009;
long long quickpow(long long a, long long b) {

    if (b < 0) return 0;

    long long ret = 1;

    a %= mod;

    while(b) {

        if (b & 1) ret = (ret * a) % mod;

        b >>= 1;

        a = (a * a) % mod;

    }

    return ret;
}
long long inv(long long a) {

    return quickpow(a, mod - 2);

}

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