转换矩阵平移矩阵旋转矩阵关系以及python实现旋转矩阵四元数欧拉角之间转换

Posted 2023-03-03 非晚非晚

文章目录

• 1. 转换矩阵、平移矩阵、旋转矩阵之间的关系
• 2. 缩放变换、平移变换和旋转变换
• 2. python实现旋转矩阵、四元数、欧拉角互相转化

由于在平时总是或多或少的遇到平移旋转的问题，每次都是现查资料，然后查了忘，忘了继续查，这次弄明白之后干脆写一篇文章，给人方便同时于己方便，后续如有扩充或变动也方便添加。

1. 转换矩阵、平移矩阵、旋转矩阵之间的关系

假设有两个向量$a_1=(x_1,y_1,z_1)$和$a_2=(x_2,y_2,z_2)$，它们的转换关系为：

$$a_1=R\ast a_2+T$$
这里$R$就是它的旋转矩阵，$T$就是它的平移矩阵。使用齐次方式表示如下：

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}R& T\\ 0& 1\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}{a}_2\\ 1\end{array}\right)$$
使用元素值替换后，表示如下：
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_1\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_2\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_3\\ z_2\\ 1\end{array}\right)$$
在仿射变换中的转换矩阵表示先线性变换再平移。在这里转换矩阵表示如下：
$$转换矩阵=\left(\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_1\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_2\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
平移矩阵表示如下：
平移矩阵 T = ( t 1 t 2 t 3 )