朱 - 刘算法

Posted 2021-01-08 colythme

· 定义

　　对于有向无环图G (V, E)，类似最小生成树的定义，有向图最小树形图即在有向图上查找总权值和最小的树形图（即有向边的树）。

· 朱 - 刘算法

　　对于每个点先选取到达它的最小的边，这样可组成一个边集E₁，显然，该边集权值和最小，但不一定是树。

　　在该边集上进行缩点，并判断是否有解（是否有点无入度），在融会G中，记为G₁。

　　当然，若此时没有找到有向环且有解，说明在当前图上已找到最小树形图，那么将原来的缩点解开，即除了当前树形图上的弧之外，将缩点内没有与已知弧有相同终点的边选出，如此构成了G的最小树形图。

　　反之，则进行改边：先省去缩点内边；对于由缩点内出去的边，保持原权值即可；对于进入缩点的边，令V_s表示缩点点集，对于∀v ∈ V_s，∀u ∉ V_s，有<u, V> = <u, v> - v的最小入权边，是因为这样将权值相加的话，就相当于删去了缩点中拥有相同终点的边。

　　这样更改完点集与边集，进行重复运算即可。

　　其中，复杂度O (nm)。

· 代码

　　（改代码仅求最小权值总和，这样是不需解开缩点的）