最长k可重线段集问题

Posted 2021-01-08 tian-luo

最长k可重线段集问题

时空限制1000ms / 128MB

题目描述

给定平面 x−O−y 上 n 个开线段组成的集合 I，和一个正整数 k 。试设计一个算法，从开线段集合 I 中选取出开线段集合 S⊆I ,使得在 x 轴上的任何一点 p，S 中与直线 x=p 相交的开线段个数不超过 k，且∑?∣z∣达到最大。这样的集合 S 称为开线段集合 I 的最长 k 可重线段集。∑?∣z∣ 称为最长 k 可重线段集的长度。

对于任何开线段 z，设其断点坐标为 (x0?,y0?) 和 (x1?,y1?)，则开线段 z 的长度 ∣z∣ 定义为：|z|=⌊sqrt{(x1-x0)^2+(y1-y0)^2}⌋

对于给定的开线段集合 I 和正整数 k，计算开线段集合 I 的最长 k 可重线段集的长度。

输入输出格式

输入格式：

文件的第一 行有 2 个正整数 n 和 k，分别表示开线段的个数和开线段的可重叠数。

接下来的 n 行，每行有 4 个整数，表示开线段的 2 个端点坐标。

输出格式：

程序运行结束时，输出计算出的最长 k 可重线段集的长度。

输入输出样例

输入样例： 

4 2
1 2 7 3
6 5 8 3
7 8 10 5
9 6 13 9 

输出样例： 

17

说明

1≤n≤500

1≤k≤13

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3357

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最大权不相交路径。和这一题很类似。但是这一题会出现线段垂直x轴的情况，这样就会出现自环，而且是负环，所以直接跑费用流会有问题。因此要对每一个点进行拆点，拆成1号点和2号点，具体连边操作为：每个点和下一个点之间连一条费用为0，容量为INF的边。对于某线段，设其在x轴上投影的左右端点为点u和点v，若u=v，则在这个点的1号点和2号点之间连一条费用为边权，容量为1的边，否则在u的2号点和v的1号点之间连一条边。

 

#include<bits/stdc++.h>
#define INF LLONG_MAX/2
#define N 3005
using namespace std;

struct ss
{
    int u,v,next;
    long long flow,cost;
};

ss edg[N*15];
int head[N],now_edge=0;

void addedge(int u,int v,long long flow,long long cost)
{
     edg[now_edge]=(ss){u,v,head[u],flow,cost};
    head[u]=now_edge++;
    edg[now_edge]=(ss){v,u,head[v],0,-cost};
    head[v]=now_edge++;
}

int spfa(int s,int t,long long &flow,long long &cost)
{
    int vis[N]={0};
    vis[s]=1;
    queue<int>q;
    q.push(s);
    long long dis[N];
    for(int i=0;i<N;i++)dis[i]=INF;
    dis[s]=0;
    int pre[N]={0};
    long long addflow[N]={0};
    addflow[s]=INF;
    
    while(!q.empty())
    {
        int now=q.front();
        q.pop();
        vis[now]=0;
        
        for(int i=head[now];i!=-1;i=edg[i].next)
        {
            ss e=edg[i];
            if(e.flow>0&&dis[e.v]>dis[now]+e.cost)
            {
                dis[e.v]=dis[now]+e.cost;
                pre[e.v]=i;
                addflow[e.v]=min(e.flow,addflow[now]);
                if(!vis[e.v])
                {
                    q.push(e.v);
                    vis[e.v]=1;
                }
            }
        }
    }
    
    if(dis[t]==INF)return 0;
    
    flow+=addflow[t];
    cost+=addflow[t]*dis[t];
    
    int now=t;
    while(now!=s)
    {
        edg[pre[now]].flow-=addflow[t];
        edg[pre[now]^1].flow+=addflow[t];
        now=edg[pre[now]].u;
    }
    return 1;
    
}

void mcmf(int s,int t,long long &flow,long long &cost)
{
    while(spfa(s,t,flow,cost));
}

void init()
{
    now_edge=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}

long long x[N][4];
long long LSH[N];
int size_lsh=0;

int f(long long x)
{
    return lower_bound(LSH,LSH+size_lsh,x)-LSH+1;
}

long long dist(long long x[])
{
double now=(x[0]-x[2])*(x[0]-x[2])+(x[1]-x[3])*(x[1]-x[3]);
now=sqrt(now);
return (long long)now;
}

int main()
{
    init();
    int n,k;
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<4;j++)
     {
        scanf("%lld",&x[i][j]);
        if(j%2==0)LSH[size_lsh++]=x[i][j];
    }
    
    sort(LSH,LSH+size_lsh);
    size_lsh=unique(LSH,LSH+size_lsh)-LSH;
    
    int s=size_lsh*2+1,t=s+1;
    
    for(int i=1;i<size_lsh*2;i++)addedge(i,i+1,INF,0);
    addedge(s,1,k,0);
    addedge(size_lsh*2,t,INF,0);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int u=min(f(x[i][0]),f(x[i][2])),v=max(f(x[i][0]),f(x[i][2]));
        long long w=dist(x[i]);
        
        if(u!=v)addedge(u*2,v*2-1,1,-w);
        else
        addedge(2*u-1,2*v,1,-w);
    }
    long long flow=0,cost=0;
    mcmf(s,t,flow,cost);
    printf("%lld
",-cost);
    return 0;
}

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