线性基初探

Posted 2021-01-08 sparks-pion

关于线性基的学习与理解

1、线性基：

　　若干数的线性基是一组数(a_1,a_2,...a_n)其中(a_x)的最高位的1在第x位。
　　
　　通过线性基中元素(xor)出的数的值域与原来的数(xor)出数的值域相同。

2、线性基的构造法：

　　对每一个数(p)从高位到低位扫，扫到第(x)位为1时，若(a_x)不存在，则(a_x=p)并结束此数的扫描，否则令(p=pxora_x)。

3、查询：

　　用线性基求这组数(xor)出的最大值：从高往低扫(a_x)，若异或上(a_x)使答案变大，则异或。

4、判断：

　　用线性基求一个数能否被(xor)出：从高到低，对该数每个是1的位置x，将这个数异或上(a_x)（注意异或后这个数为1的位置和原数就不一样了），若最终变为0，则可被异或出。当然需要特判0（在构造过程中看是否有p变为0即可）。
个人谈一谈对线性基的理解:
　　很多情况下，只有有关异或运算和求最值，就可以用到线性基。线性基有很多很好的性质，比如说
　　如果有很多个数，我们可以构出这些数的线性基，那么这个线性基可以通过互相(xor)，能够构出原来的数可以相互(xor)x构出的所有的数。所以可以大大减少判断的时间和次数。
　　同时线性基的任何一个非空子集都不会使得其(xor)和为0，证明也很简单，反证法就可以说明。
　　这个性质在很多题目中可以保证算法合法性，比如：[BJWC2011]元素(按权值从大到小插入到线性基中就可以保证得到的线性基中的元素是权值之和最大的。)。
构造的方法有点像贪心，从大到小保证高位更大。也比较好理解。就是这几行代码：

for(re i=1;i<=n;++i)
    for(re j=62;j>=0;--j)
        if(a[i]&(1ll<<j)){
            if(!p[j]){p[j]=a[i];break;}
            else a[i]^=p[j];
        }

　　可以把(n)个数变成只有最大的数的二进制位数那么多个数，这就是线性基的优秀之处。
查询的话，也是一个贪心思想，如果可以使得(ans)更大，就把这一位的基(xor)进(ans)。

for(int i=62;i>=0;i--) if((ans^p[i])>ans) ans=ans^p[i];
//从线性基中得到最大值 

　　这就是线性基的基本用法和个人的一些理解。