bzoj4305 数列的GCD

Posted 2021-01-08 kafuuchino

Description

给出一个长度为N的数列{a[n]}，1<=a[i]<=M(1<=i<=N)。 

现在问题是，对于1到M的每个整数d，有多少个不同的数列b[1], b[2], ..., b[N]，满足： 

(1)1<=b[i]<=M(1<=i<=N)； 

(2)gcd(b[1], b[2], ..., b[N])=d； 

(3)恰好有K个位置i使得a[i]<>b[i](1<=i<=N) 

注：gcd(x1,x2,...,xn)为x1, x2, ..., xn的最大公约数。 

输出答案对1,000,000,007取模的值。 

Input

第一行包含3个整数，N，M，K。 

第二行包含N个整数：a[1], a[2], ..., a[N]。 

Output

输出M个整数到一行，第i个整数为当d=i时满足条件的不同数列{b[n]}的数目mod 1,000,000,007的值。 

 

Sample Input

3 3 3
3 3 3

Sample Output

7 1 0

Hint

当d=1，{b[n]}可以为：(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1)。 

当d=2，{b[n]}可以为：(2, 2, 2)。 

当d=3，因为{b[n]}必须要有k个数与{a[n]}不同，所以{b[n]}不能为(3, 3, 3)，满足条件的一个都没有。 

对于100%的数据，1<=N,M<=300000, 1<=K<=N, 1<=a[i]<=M。 

 

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组合数学

详见题解：CSDN->  /geotcbrl/article/details/49622731

 

分为2类：

原数的约数不含 i ：必须修改成 i 的倍数（共 m/i 个）。

原数的约数已经含 i ：一部分不修改，一部分强制修改（共 m/i-1个）

最后把gcd是 i 的倍数的情况筛掉即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1000000007;
int n,m,k,t[300003];
ll fac[300003],inv[300003],f[300003];
inline ll Pow(ll x,int y){
    ll res=1;
    for(;y;y>>=1){
        if(y&1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
    }return res;
}
inline ll C(int N,int M) {return fac[N]*inv[M]%mod*inv[N-M]%mod;}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); int q;
    fac[0]=inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&q),++t[q]; //开个桶存起来
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        inv[i]=inv[i-1]*Pow((ll)i,mod-2)%mod; //预处理出阶乘以及其逆元
    }
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int cnt=0;
        for(int j=i;j<=m;j+=i) cnt+=t[j]; //统计i的倍数的个数
        if(cnt<n-k) continue;
        f[i]=C(cnt,n-k)*Pow((ll)(m/i-1),cnt-n+k)%mod*Pow((ll)(m/i),n-cnt)%mod;
　　　　//f[i]=对i的倍数强制修改的方案*其他非i倍数的修改方案数
    }
    for(int i=m;i;--i) //逆序筛去gcd为i的倍数的情况
        for(int j=i*2;j<=m;j+=i)
            f[i]=(f[i]-f[j]+mod)%mod;
    for(int i=1;i<=m;++i) printf("%lld ",f[i]);
    return 0;
}