博弈论

Posted 2021-01-08 ezoihy

博弈论其实一直都不太会，最近看了看，想了想其实还好了。以前都是看到这种题都是爆搜，感觉现在就不会这么鲁莽了啊。博弈有三种我会一一来讲。

Bash（巴什博弈）

1）问题

HDU1846 Brave Game

Problem Description

十年前读大学的时候，中国每年都要从国外引进一些电影大片，其中有一部电影就叫《勇敢者的游戏》（英文名称：Zathura），一直到现在，我依然对于电影中的部分电脑特技印象深刻。
今天，大家选择上机考试，就是一种勇敢（brave）的选择；这个短学期，我们讲的是博弈（game）专题；所以，大家现在玩的也是“勇敢者的游戏”，这也是我命名这个题目的原因。
当然，除了“勇敢”，我还希望看到“诚信”，无论考试成绩如何，希望看到的都是一个真实的结果，我也相信大家一定能做到的~

各位勇敢者要玩的第一个游戏是什么呢？很简单，它是这样定义的：
1、 本游戏是一个二人游戏;
2、 有一堆石子一共有n个；
3、 两人轮流进行;
4、 每走一步可以取走1…m个石子；
5、 最先取光石子的一方为胜；

如果游戏的双方使用的都是最优策略，请输出哪个人能赢。

Input

输入数据首先包含一个正整数(C(C<=100))，表示有C组测试数据。
每组测试数据占一行，包含两个整数(n)和(m（1<=n,m<=1000）)，n和m的含义见题目描述。

Output

如果先走的人能赢，请输出“first”，否则请输出“second”，每个实例的输出占一行。

Sample Input

2
23 2
4 3

Sample Output

first
second

2）思路&结论

显然这个东西爆搜情况太多了会T啊，所以我们就要像有没有(O(1))的算法，当然是有的啊。

我们可以yy出结论：若(n\%(m+1)=0)后手赢，否则先手赢

3）证明&推导

设k，x是满足((m+1)k+x=n)的非负整数，且(x<m+1)

这里的意思就是我们设每轮两人加起来取(m+1)个，取(k)轮，又因为剩下的(x<m+1)，所以当没有剩下，也就是(x=0)时，先手必败，否则先手必胜

我们再来看回这个式子

[(m+1)k+x=n]

我们想因为(x<m+1)，所以

[x=n\%(m+1)]

所以这道题关键就在于(n\%(m+1))的取值

4）代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

int T;

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n,k;
        scanf("%d%d",&n,&k);
        if((n%(k+1)))puts("first");
        else puts("second");
    }
}