莫比乌斯反演

Posted 2021-01-08 alessandro

简介

莫比乌斯反演是数论上的一种处理技巧。对于一些函数 (f(n))，如果很难直接求出它的值，而容易求出倍数和或约数和 (F(n))，那么可以通过莫比乌斯反演来求得 (f(n)) 的值。
备注：在本文中，是用 ([A]) 表示 (A) 命题的真值表达，(A) 为真则为 (1)，否则为 (0)。

莫比乌斯函数

定义

设 (n=p_1^{q_1}cdot p_2^{q_2}cdots p_k^{q_k})，其中 (p) 为素数，则定义莫比乌斯函数 (mu(n)) 如下：
[mu(n)=egin{cases}1 & n=1 \ (-1)^k & displaystyle prod_{i=1}^kq_i=1 \ 0 & q_i>1 end{cases}]
可知有平方因子的数的莫比乌斯函数值为 (0)。

性质

性质一：莫比乌斯函数是积性函数。
[mu(a)mu(b)=mu(acdot b), (a,b)=1]

应用：根据这一性质，可以使用线性筛，在 (O(n)) 的时间预处理出所有 ([1,n]) 内的 (mu) 值。

void sieve() {
    fill(prime, prime + maxn, 1);
    mu[1] = 1, tot = 0;
    for (int i = 2; i < maxn; i++) {
        if (prime[i]) {
            prime[++tot] = i, mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 1; j <= tot && i * prime[j] < maxn; j++) {
            prime[i * prime[j]] = 0;
            if (i % prime[j] == 0) {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            } else {
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}

补充：在数论上积性函数的定义。

设 (f(n)) 为一个定义在 (N_+) 上的函数。若对于任意 ((x,y)=1) 有 (f(xcdot y)=f(x)f(y))， 则称 (f(n)) 为一个积性函数；若对于任意 (x) 和 (y) 均有 (f(xcdot y)=f(x)f(y))，则称 (f(n)) 为一个 完全积性函数

性质二：
[displaystyle sum_{d|n}mu(d)=[n=1]]

证明：
当 (n=1) 时显然。

当 (n eq 1) 时，设 (n=p_1^{q_1}cdot p_2^{q_2}cdots p_m^{q_m})。

在 (n) 的所有因子中，(mu) 值不为 (0) 的只有所有质因子次数都为 (1) 的因子，其中质因子个数为 (r) 个的有 (C_k^r) 个。
那么显然有：(displaystyle sum_{d|n}mu(d)=C_k^0-C_k^1+C_k^2+cdots+(-1)^kC_k^k=sum_{i=0}^k(-1)^iC_k^i)。
由二项式定理知 (displaystyle (x+y)^n=sum_{i=0}^nC_n^ix^iy^{n-i})。令 (x=-1,y=1)，代入即可得证。

莫比乌斯反演

形式一：
[displaystyle F(n)=sum_{d|n}f(d)implies f(n)=sum_{d|n}igg(mu(d)cdot FBig(frac{n}{d}Big)igg)]

证明
[displaystyle sum_{d|n}igg(mu(d)cdot FBig(frac{n}{d}Big)igg)=sum_{d|n}igg(mu(d)cdot sum_{k|frac{n}{d}}f(k)igg)=sum_{k|n}igg(f(k)cdot sum_{d|frac{n}{k}}mu(d)igg)=f(n)]
最后一步时根据莫比乌斯函数的性质二，可得当且仅当 (k=n) 时和式的值为 (f(n))，否则为 (0)。

形式二：
[displaystyle F(n)=sum_{n|d}f(d)implies f(n)=sum_{n|d}igg(muBig(frac{d}{n}Big)cdot F(d)igg)]

应用：
容斥原理，数论，杜教筛。

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