Luogu 3421 [POI2005]SKO-Knights - Exgcd

Posted 2021-01-08 cychester

Description

给出一个骑士的 $N$种 中行走的方式 $(a_i, b_i)$， 可以使骑士的坐标$(-a,-b)$或$(+a,+b)$。

我们需要找出 第二个骑士的 两种行走方式 $(c_1, d_1)$ 和 $(c_2, d_2)$ 使得 两个骑士能走到的点 完全相同。

 

保证$a_i, b_i$ 不会同时$=0$。

Solution

真的是比较神奇的解法， 只需要会exgcd就能够做的题（然而我真的没有想到。

 

我们要将  两个 不竖直的 向量 $(a_1, b_1)$ ， $(a_2, b_2)$ 转换成 等价的  一个不竖直向量$(a_3,b_3)$和 一个竖直向量$(0,b_4)$ 

也就是下图中的 两条绿线

　　　（我是真的不会画图QAQ）　图源 

 

 

然后我们就能发现  能走到的点  的 水平距离 为 $gcd(a_1, a_2)$。

并且 横坐标相同的点 ， 纵坐标的差 为 $(a_1 imes b_2 - a_2 times b_1)div gcd(a_1,a_2)$

　　证明： 设 $a_1 imes x_1 + a_2 imes y_1= $横坐标

　　　　　那么 $b_1 imes x_1 + b_2 imes y_1=$纵坐标

　　　　　根据扩展欧几里得， $x = x_1  + k imes a_2 div gcd, y  = y_1 - k imes a_1 div gcd$，

　　　　　　　　　　　　　　把$x, y$带入第二个式子， 就得到了纵坐标差为 $(a_1 imes b_2 - a_2 imes b_1)div gcd(a_1,a_2)$。

 

接着使 $a_3 = gcd(a_1,a_2)$,  并算出 满足  $a_1 imes x_1 + a_2 imes y_1= gcd(a_1,a_2)$ 的 $x_1$, 和$y_1$。

令$b_3 = b_1 imes x_1 + b_2 imes y_1$。

$b_4 = (a_1 imes b_2 - a_2 imes b_1)div gcd(a_1,a_2)$

并且这两个向量是与 转换之前的向量 等价， 即它们所构成的 所有坐标都相同。

 

所有的竖直向量都可以合并成 $gcd$， 所以我们把得到的 竖直向量与之前的竖直向量合并成一个。

这样每一次操作 两个向量 都会变成 一个向量。 最后只剩一个竖直向量 和 一个不竖直向量 就是要的答案了。

 

Code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<queue>
 5 #define rd read()
 6 using namespace std;
 7 typedef pair<int, int> P;
 8 
 9 const int N = 1e5 + 5;
10 
11 int n, ans1, ans2;
12 
13 queue<P> q;
14 
15 int read() {
16     int X = 0, p = 1; char c = getchar();
17     for (; c > ‘9‘ ||  c < ‘0‘; c = getchar())
18         if (c == ‘-‘) p = -1;
19     for (; c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘; c = getchar())
20         X = X * 10 + c - ‘0‘;
21     return X * p;
22 }
23 
24 
25 int gcd(int x, int y) {
26     if (!x || !y)
27         return x + y;
28     return gcd(y, x % y);
29 }
30 
31 int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
32     if (b == 0) {
33         x = 1; y = 0;
34         return a;
35     }
36     int d = exgcd(b ,a % b, x , y), z = y;
37     y = x - a/b * y; x = z;
38     return d;
39 }
40 
41 #define fir first
42 #define sec second
43 
44 int main()
45 {
46     n = rd;
47     for (int i = 1; i <= n; ++i) {
48         int a = rd, b = rd;
49         if (a == 0)    ans2 = gcd(ans2, b);
50         else q.push(P(a, b));
51     }
52     for (; q.size() > 1;) {
53         P u = q.front(), v; q.pop();
54         v = q.front(); q.pop();
55         int x, y;
56         int a = exgcd(u.fir, v.fir, x ,y), b = u.sec * x + v.sec * y;
57         int t = (u.fir * v.sec - u.sec * v.fir) / a;
58         q.push(P(a, b));
59         ans2 = gcd(ans2, t);
60     }
61     printf("0 %d
", ans2);
62     if (q.empty()) printf("0 %d
", ans2 * 2);
63     else {
64         P t = q.front();
65         printf("%d %d
", t.fir, t.sec);
66     }
67 }

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