RMQ问题相关 -- ST表

Posted 2021-01-08 eqvpkbz

ST表

Introduction

最近看到ST表，似曾相识，然后简单了解了一下

比较妙妙的用空间换时间

Body

事实上，中间的
[f[i][j] = max{f[i,i+2^j-1]}]
所以说
这样来说:
[f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])]
先说一下这个的正确性
因为我们知道
[f[i][j] = max{f[i,i+2^j-1]}]
且
[[i,i+2^j-1] = [i,i+2^{j-1}-1],[i+2^{j-1},i+2^j-1]]
其实也就是从中间分开，分成两个相等的区间
那么f[i][0]又是什么呢？
它就是每个数组对应的值
因为
[f[i][0] = max{f[i,i+2^j-1]}]
[2^0 = 1]
所以
[f[i][0] = max{f[i,i]} = Max[1,1] ]
所以这个时候所有的f[i][0]都是当前节点的值
所以也就比较好理解了
然后还有一个比较重要的问题: 循环边界
首先我们知道(i+2^j-1 leqslant n)
所以因为是先枚举j，再枚举的i，所以这个时候就可以作为i的边界

那么j的边界呢？
其实因为[i+2^j-1leqslant n]
所以当(i)最小为(1)时$2^jleqslant n $
也就是(jleqslant sqrt{n})

好了，那么下面就是主程序

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 1000005
int f[maxn][21];
int ask(int l,int r)
{
    int k=log2(r-l+1); 
    return max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&f[i][0]);
    int Max_j = log2(n);
    for(int j=1;j<=Max_j;j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
            f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]); 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int l,r;
        scanf("%d %d",&l,&r);
        printf("%d
",ask(l,r));
    }
    return 0;
}

Conclusion

ST表方便便捷，算是一个典型的数据结构，线段树和树状数组其实效率上也差不多，但是线段树和树状数组写起来比较麻烦，所以我们可以优先考虑ST表

同时一般情况下我们可以认为ST表是解决RMQ问题的一个利器

Update - 2018.9.15

比较重要的一点是循环的顺序，如果i和j的位置没有搞好的话那么将会出很大的锅

今天考试的时候才发现这里有循环顺序错误啥的