浅谈模拟退火

Posted 2021-01-08 genius777

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了浅谈模拟退火相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

原谅我将模拟退火放到骚操作的范畴，比较玄学调参，玄学AC。。。。。。（我要当欧皇TAT）

模拟退火算法

模拟退火是一种随机化算法, 用于求函数的极值qwq

比如给出一个问题, 我们要求最优解的值, 但是可能的方案数量极大, 直接搜索会T飞(或者方案是连续的总数无穷根本没法搜), 这种时候我们一般会有两种选择:

爬山算法

爬山算法每次在当前找到的方案附近寻找一个新的方案(常见方式是随机一个差值), 然后如果这个解更优那么直接转移.

对于单峰函数来说这显然可以直接找到最优解(不过你都知道它是单峰函数了为啥不三分呢?)

但是对于多数我们求解的函数来说, 它并不一定会长成这个样子...于是就极其有可能钻进一个局部的最优解出不来了

技术分享图片

算法得出的最优解与初始解的位置以及搜寻的附近解的区域大小有关.

当然如果你寻找新方案的区间很大的话有概率跳出去, 但是太大的话又可能跳来跳去跳乱了从而找不到最优解...

欧皇专用最优化求解方式

然而并不是所有人都是欧皇, 像博主这样的非酋要怎么办捏?

当然是求助于自然规律(大雾)

退火的理论部分

退火其实本来是冶金工业里的术语...大概过程是先把晶体加热到极高的温度再缓慢降温, 在这个过程中减少晶体中的缺陷(达到能量最低的最稳定状态)

然后机智的我们发现这个过程最终和我们的最优化过程类似!

于是我们去模拟这个过程, 按照退火的规律引入更多随机因素, 这样我们得到最优解的概率就会增加辣233

emmmm...

等等模拟这个过程? 这是计算机又不是实验室你怎么模拟啊(╯°□°)╯︵┻━┻

拿出物理化学(假装自己还是个ChO党)...

根据热力学规律并结合计算机对离散数据的处理, 我们定义: 如果当前温度为

P (Δ E) = e Δ E k T

显然如果

然后我们维护温度

一般

首先让温度

当

看起来好像并不是很难理解?

Wikipedia上的动图:

技术分享图片

一般来讲模拟退火在参数合适的情况下效果拔群, TSP随便跑(x

模拟退火的实际使用

实际使用里这函数可不一定是个单元函数...而且寻找新解好像是个很模糊的东西, 毕竟很多时候我们会发现我们要求解的问题的所有可能解并不是离散的...

先拿道题说说...

3680: 吊打XXX
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSec Special Judge
Submit: 4247 Solved: 1566
[Submit][Status][Discuss]
Description

gty又虐了一场比赛，被虐的蒟蒻们决定吊打gty。gty见大势不好机智的分出了n个分身，但还是被人多势众的蒟蒻抓住了。蒟蒻们将
n个gty吊在n根绳子上，每根绳子穿过天台的一个洞。这n根绳子有一个公共的绳结x。吊好gty后蒟蒻们发现由于每个gty重力不同，绳
结x在移动。蒟蒻wangxz脑洞大开的决定计算出x最后停留处的坐标，由于他太弱了决定向你求助。
不计摩擦，不计能量损失，由于gty足够矮所以不会掉到地上。

Input

输入第一行为一个正整数n(1<=n<=10000)，表示gty的数目。
接下来n行,每行三个整数xi，yi，wi，表示第i个gty的横坐标，纵坐标和重力。
对于20%的数据，gty排列成一条直线。
对于50%的数据，1<=n<=1000。
对于100%的数据，1<=n<=10000,-100000<=xi,yi<=100000

Output

输出1行两个浮点数（保留到小数点后3位），表示最终x的横、纵坐标。

Sample Input

3
0 0 1
0 2 1
1 1 1

Sample Output

0.577 1.000

HINT

Source

By wangxz

在这个题中我们为了到达稳定状态要让整个体系的总重力势能最低.

重力势能怎么求呢? 别忘了这绳子的总长度是不会变的...于是某个质点的重力势能和到绳结的水平距离成一次函数关系.

我们为了简化问题, 可以将某个质点对最终答案产生的贡献计算为

这个时候我们可以考虑模拟退火. 首先随机一个点作为初始解(为了加速收敛, 我们可以直接取各个点坐标的平均值所在的店). 然后随机两个值作为差值加到这个点的坐标上作为下一个解.

然后模拟退火直接往上套就可以了233

具体实现就是一个 while 循环, 循环内有4步:

根据当前解找到下一个解
计算下一个解的 "能量" (也就是价值)
决定是否要接受这个新解
降温

找下一个解的时候有一个提高精度的小技巧: 根据当前温度决定差值的范围. 这样在降温即将结束接近最优解的时候可以有更大的概率更精确地命中最优解.

具体做法就是使用一个产生

不过实际操作的时候我们较少直接输出最终解, 而是选择在模拟退火的过程中单独维护一个解, 只在遇到更优解的时候将其更新, 增加正确率.

本题的参考实现:

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cctype>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cmath>
 5 #include<ctime>
 6 using namespace std;
 7 typedef long long ll;
 8 void read(int &v)
 9 {
10     int f;char ch;
11     while(!isdigit(ch=getchar())&&ch!=‘-‘); ch==‘-‘?(v=0,f=-1):(v=ch-‘0‘,f=1);
12     while(isdigit(ch=getchar())) v=v*10+ch-‘0‘;v=v*f;
13 }
14 const int N=1007,INF=1e9+7;
15 const double d=0.993,t=1e-14;
16 double T=1926;
17 struct sd{
18     int x,y,w;
19 }node[N];
20 int n,sumx,sumy;
21 double get_ans(double x,double y)
22 {
23     double ans=0;
24     for(int i=1;i<=n;i++)
25     ans+=sqrt((x-node[i].x)*(x-node[i].x)+(y-node[i].y)*(y-node[i].y))*node[i].w;
26     return ans;
27 }
28 void GG(double ansx,double ansy)
29 {
30     while(T>=t)
31     {
32         double nowx=ansx+(rand()*2-RAND_MAX)*T;
33         double nowy=ansy+(rand()*2-RAND_MAX)*T;
34         double de=get_ans(nowx,nowy)-get_ans(ansx,ansy);
35         if(de<0) ansx=nowx,ansy=nowy;
36         else if(exp(-de/T)*rand()>RAND_MAX) ansx=nowx,ansy=nowy;
37         T=T*d;
38     }
39     printf("%.3lf %.3lf",ansx,ansy);
40 }
41 int main()
42 {
43     srand(time(0));
44     read(n);
45     for(int i=1;i<=n;i++)
46     read(node[i].x),read(node[i].y),read(node[i].w),sumx+=node[i].x,sumy+=node[i].y;
47     GG((double)sumx/n,(double)sumy/n);
48     return 0;
49 }