codeforces990D - Graph And Its Complement

Posted 2021-01-08 malcolmmeng

链接http://codeforces.com/problemset/problem/990/D

构造类型的题目。

这道题目要求构造一个无向图，使得原图和补图的极大连通子图符合要求的数量。

这种构造类型的题目，都要去寻找规律和特点（对我来说很难）。看了题解，也算是学习了新知识了。

官方的题解：链接

关键点就是 如果原图或补图有一个图的极大连通子图的数目大于1，则另一个图的极大连通子图的数目一定等于1。证明如下：

假设原图的极大连通子图的数目大于1，u，v为图中的任意一对顶点。

如果u，v位于不同的极大连通子图，那么u，v在补图中是连通的。

如果u，v位于同一个极大连通子图，那么u，v可以与另一个极大连通子图中的同一个点相连，所以也是连通的。

设原图极大连通子图数目为a，补图为b

特殊情况为a=1，b=1。n=2或3时无解，其他情况有解

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<vector>
#define DEBUG(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl
using namespace std;
const int MAXN=1e3+10;
int n,a,b;
int mat[MAXN][MAXN];
int main()
{
//    freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
    if((n==2||n==3)&&a==1&&b==1)printf("NO
");
    else if(a!=1&&b!=1)printf("NO
");
    else {
        printf("YES
");
        int cnt=0;
        if(a>1){
            int cur=1;
            while(cur<=n-a){//使用首尾相连的方法构图
                mat[cur-1][cur]=mat[cur][cur-1]=1;
                cur++;
            }
        }
        else if(b>1){
            int cur=1;
            while(cur<=n-b){
                mat[cur-1][cur]=mat[cur][cur-1]=1;
                cur++;
            }
            for(int i=0;i<n ;i++ ){
                for(int j=0;j<n ;j++ ){
                    if(i!=j)mat[i][j]=1-mat[i][j];
                }
            }
        }
        else {
            int cur=1;
            while(cur<n){
                mat[cur-1][cur]=1;
                mat[cur][cur-1]=1;
                cur++;
            }
        }
        for(int i=0;i<n ;i++ ){
            for(int j=0;j<n ;j++ ){
                printf("%d",mat[i][j]);
            }
            printf("
");
        }
    }
}

 

Let‘s prove that if $a>1$, then $b=1$. Let $G$ be the original graph, and $H$ — the complement of the graph $G$. Let‘s look at each pair of vertices $(u,v)$. If $u$ and $v$ belong to different components of the graph $G$, then there is an edge between them in the graph $H$. Otherwise, $u$ and $v$ belong to the same component of the graph $G$, but since $G$ has more than one component, there is vertex $x$ in other component of $G$, and there are edges $\{u,x\}$ and $\{v,x\}$ in $H$. That‘s why, there is a connected path for any pair of vertices $(u,v)$, and the graph $H$ is connected. Similarly, the case $b>1$ is proved.

So, if $min(a,b)>1$, then the answer is "NO". Otherwise, $min(a,b)=1$. Consider the case where $b=1$ (if $b>a$, we can swap $a$ and $b$, and output complement of the constructed graph). To have $a$ components in the graph $G$, it is enough to connect the vertex $1$ with the vertex $2$, the vertex $2$ with the vertex $3$, $?$, the vertex $n?a$ with the vertex $n?a+1$.

A particular cases are the tests $n=2,a=1,b=1$ and $n=3,a=1,b=1$. There is no suitable graph for them.