背包总结

Posted 2020-10-15

0/1背包

题意

给一个体积为V的背包，n件物品，每件物品的价值为c[i]，体积为v[i]，问不超过背包体积可以装的最大价值为多少

分析

定义：dp[i][v]：考虑到第i件物品，体积为V（V >= v[i]）时的最大价值

转移：dp[i][v] = max（dp[i-1][v]，dp[i-1][v-v[i]] + c[i]）

从转移方程可以看出 dp[v] = max(dp[v]， dp[v-a[i]] + c[i])  (需要逆序枚举V！！！)

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完全背包

题意

给一个体积为V的背包，n件物品，每件物品的价值为c[i]，体积为v[i]，问不超过背包体积可以装的最大价值为多少

分析

不难看出与0/1背包的区别在于每件物品的数量上，考虑二进制拆分优化

直接正序枚举v即可（与0/1背包相反）

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 分组背包

题意

给一个体积为V的背包，n件物品，每件物品有a[i]个，价值为c[i]，体积为v[i]，问不超过背包体积可以装的最大价值为多少

分析

考虑二进制拆分 将a[i] 拆成 ： 1，2，4 ...... 2^k，a[i] - 2^(k+1) + 1 共k+1件物品 

    for(int i = 1; i <= n ; i++)
    {
        for(int k = 1; k < a[i]; a[i]-=k, k<<1)
        {
            for(int j = V; j >= k*c[i]; --j)
            {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-k*v[i] + k*c[i]);
            }
        }
        for(int j = V; j >= a[i]*c[i]; --j)
             dp[j] = max(dp[j], dp[j-a[i]*v[i]]+a[i]*c[i])
    }

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