TYVJ2002 扑克牌

Posted 2021-01-08 ywjblog

卢克生日那天，汉来找卢克玩扑克牌，玩着玩着汉觉得太没意思了，于是决定给卢克一个考验
汉把一副扑克牌(54张)随机洗匀，倒扣着放成一摞。然后卢克从上往下一次翻开每张牌，每翻开一张黑桃，红桃，梅花或方块，就把它放到对应的花色的堆里去。
汉想问问卢克，得到A张黑桃，B张红桃，C张梅花，D张方块需要翻开的牌的张数的期望值E是多少
特殊的，如果翻开的牌是大小王，那么卢克可以把它作为某种花色的牌放入对应堆中。卢克会采取最优策略，使得放入之后E的值尽可能的小
显然卢克靠原力的感知可以无视这个问题，汉为给卢克丢了一个没意义的问题而懊恼，于是决定把问题丢给还是绝地学徒的你
虽然你并不能善用原力，但是好在你会c++，于是你可以靠程序解决这个问题。
卢克和汉还在玩牌，所以你可以在计算出结果后直接将答案汇报给他们
0<=A,B,C,D<=15 四舍五入保留三位小数输出

f[a,b,c,d,x,y]表示黑桃取了a张，红桃取了b张，梅花取了c张，方块取了d张，小王状态为x，大王状态为y时的期望值
具体来说，x = 4表示没有用过小王，x = 0~3表示用过小王，且把小王作为对应的花色(0代表黑桃，1代表红桃，2代表梅花，3代表方块)
可以知道的是，随着翻开的牌数的增加，得到某种花色的概率是在变化的。
当前已经翻开的牌总数sum = (a + b + c + d + (x == 4) + (y == 4)）。到目前为止，还剩下54-sum张牌，其中13-a张黑桃，13-b张红桃，13-c张梅花，13-d张方块
以黑桃为例：
翻开一张黑桃的概率为(13 - a)/(54 - sum)。还需要翻开的牌的期望张数为f[a+1,b,c,d,x,y]。对于红桃，梅花，方块，情况类似
特别地，当x = 4时，有1/(54 - sum)的概率翻开小王。根据题意，应选择把小王看做某种花色，是期望值尽量小，即min{f[a,b,c,d,x‘,y]}(0<=x‘<=3).对于大王，情况类似
对于大王，情况类似

方程显然且省略，建议直接看代码

初值：若已经翻开的牌数达到了题目要求的数量，则期望值位0.例如已经翻开的黑桃张数为a+(x==0)+(y==0)，其余同理
目标f[0,0,0,0,4,4]

在数学期望递推，数学期望Dp中，通常把终止状态作为初值，把起始状作为目标状态，倒着进行计算。
原因：以本题为例：
根据数学期望的定义，若我们正着计算，则还需求出从起始状态到达每个终止状态的概率，与F值相乘求和才能得到答案，增加了难度，且易出错
而倒着计算，因为起始状态F[0,0,0,0,4,4]唯一，所以它的概率一定为1，最后直接输出f[0,0,0,0,4,4]即为所求

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int A, B, C, D;
 4 double f[15][15][15][15][5][5];
 5 bool vis[15][15][15][15][5][5];
 6 
 7 
 8 inline int read() {
 9     int x = 0, y = 1;
10     char ch = getchar();
11     while(!isdigit(ch)) {
12         if(ch == ‘-‘) y = -1;
13         ch = getchar();
14     }
15     while(isdigit(ch)) {
16         x = (x << 1) + (x << 3) + ch - ‘0‘;
17         ch = getchar();
18     }
19     return x * y;
20 }
21 
22 double Dp_to_make_ans(int a, int b, int c, int d, int p, int q) {
23     if(vis[a][b][c][d][p][q]) return f[a][b][c][d][p][q];
24     vis[a][b][c][d][p][q] = 1;
25     int h = a, j = b, k = c, l = d;
26     if(p == 0) h++; if(p == 1) j++; if(p == 2) k++; if(p == 3) l++;
27     if(q == 0) h++; if(q == 1) j++; if(q == 2) k++; if(q == 3) l++;
28     if(h >= A && j >= B && k >= C && l >= D) return f[a][b][c][d][p][q] = 0;
29     int sum = h + j + k + l;
30     double f_ans = 1;
31     if(a < 13) f_ans += Dp_to_make_ans(a + 1, b, c, d, p, q) * (13 - a) / (54 - sum);
32     if(b < 13) f_ans += Dp_to_make_ans(a, b + 1, c, d, p, q) * (13 - b) / (54 - sum);
33     if(c < 13) f_ans += Dp_to_make_ans(a, b, c + 1, d, p, q) * (13 - c) / (54 - sum); 
34     if(d < 13) f_ans += Dp_to_make_ans(a, b, c, d + 1, p, q) * (13 - d) / (54 - sum);
35     double shiki;
36     if(p == 4) {
37         shiki = 100002;
38         for(int i = 0; i <= 3; ++i) shiki = min(shiki, Dp_to_make_ans(a, b, c, d, i, q));
39         f_ans = f_ans + shiki / (54 - sum);
40     }
41     if(q == 4) {
42         shiki = 100002;
43         for(int i = 0; i <= 3; ++i) shiki = min(shiki, Dp_to_make_ans(a, b, c, d, p, i));
44         f_ans = f_ans + shiki / (54 - sum);
45     }
46     return f[a][b][c][d][p][q] = f_ans;
47 }
48 
49 int main() {
50 //    freopen("test.in", "r", stdin);
51 //    freopen("test.out", "w", stdout);
52     A = read(), B = read(), C = read(), D = read();
53     double ans = Dp_to_make_ans(0, 0, 0, 0, 4, 4);
54     if(ans > 54) ans = -1;
55     printf("%0.3lf", ans);
56     return 0;
57 }