分块&势能分析！！！（orz Flash！）

Posted 2021-01-08 xzyxzy

挂个博客表示自己还活着
之后会弄系统总结这个就当是preview好了

分块

数列分块入门九题（hzwer）

• 入门题1,2,3,4,5,7

问题：给一段区间打上标记后单点查询

解法：主要是每块维护一些标记，计算答案等，此类分块较为简单

注意：块大小一般为(sqrt n)

复杂度：(O(nsqrt n))

• 入门题6

问题：每次朝数列中间插入一个元素，查询第k个元素是什么

解法：块大小超过一定值后暴力重构！采用链表实现$**

复杂度：(O(nsqrt n))

• 入门题8

问题：每次询问一个区间内为(c?)的元素个数，并把整个区间改为(c?)

解法：维护一个区间覆盖标记，如果块内没有标记就暴力修改

注意：复杂度分析要用到FlashHu的势能分析

势能（potential energy)是储存于一个系统内的能量，也可以释放或者转化为其他形式的能量。

把一个块搅乱，相当于给其增加(O(sqrt n))的势能，表示其再次被打上全局tag所需要的代价

每次操作最多把两个块搅乱，所以每次操作最多增加(O(2sqrt n))的势能，同时整理好一个块需要的代价是其势能，并能把其势能降为(O(1))

这样子最多搅乱(n)个块，增加(O(2nsqrt n))的势能，最多把他们所有的势能都变成(1)，复杂度为(O(4nsqrt n)=O(nsqrt n))

理解：增加势能需要相应代价，减少势能也需要相应代价，对应分析其最大势能即可得出复杂度

拓展：分析每次可以从栈中弹出多个元素的复杂度（还是(O(n))，其总势能最大为(O(n))）

• 入门题9

问题：在线维护区间最小众数

解法：离线就可以用莫队搞了

考虑分块，分块是一个很好的算法，维护每个数在数列中的前缀和是(O(n^2))的时空复杂度，但是给分个块就可以做到(O(nsqrt n))了

一段区间的众数一定属于：A.零散块内的数 B.整块内的众数，一共数量不超过(sqrt n)个

所以维护两个数组：(f[i][j])表示从第(i)块到第(j)块的众数，这个可以(O(sqrt nsqrt nsqrt n))的预处理出来；(g[i][j])表示离散化后的数字(i)在前(j)块中出现的次数，这个可以(O(n))赋值后(O(nsqrt n))统计前缀和而得到

之后便只需要：A.统计每个数在整块内的出现个数(O(1×sqrt n)) B.统计零散块中的数(O(sqrt n))

综上，复杂度为(O(nsqrt n))，完美通过此题/蒲公英