kd树原理及实现

Posted 2021-01-07 zcjcsl

常用来作空间划分及近邻搜索，是二叉空间划分树的一个特例。通常，对于维度为k，数据点数为N的数据集，kd树适用于N?2的k次方的情形。

 

1维数据的查询

 假设在数据库的表格T中存储了学生的语文成绩chinese、数学成绩math、英语成绩english，如果要查询语文成绩介于30～93分的学生，如何处理？假设学生数量为N，如果顺序查询，则其时间复杂度为O(N)，当学生规模很大时，其效率显然很低，如果使用平衡二叉树，则其时间复杂度为O(logN)，能极大地提高查询效率。平衡二叉树示意图为：

对于1维数据的查询，使用平衡二叉树建立索引即可。如果现在将查询条件变为：语文成绩介于30～93，数学成绩结余30～90，又该如何处理呢？

如果分别使用平衡二叉树对语文成绩和数学成绩建立索引，则需要先在语文成绩中查询得到集合S1，再在数学成绩中查询得到集合S2，然后计算S1和S2的交集，若|S1|=m,|S2|=n，则其时间复杂度为O(m*n)，有没有更好的办法呢？

 

KD树

针对多维数据索引，是否也存在类似的一维的索引方法呢？先看2维数据的集合示意图：

 

 

如果先根据语文成绩，将所有人的成绩分成两半，其中一半的语文成绩<=c₁，另一半的语文成绩>c₁，分别得到集合S₁,S₂;然后针对S₁，根据数学成绩分为两半，其中一半的数学成绩<=m₁,另一半的数学成绩>m₁，分别得到S₃,S₄，针对S₂，根据数学成绩分为两半，其中一半的数学成绩<=m₂,另一半的数学成绩>m₂，分别得到S₅,S₆；再根据语文成绩分别对S₃,S₄，S₅,S₆继续执行类似划分得到更小的集合，然后再在更小的集合上根据数学成绩继续,...

上面描述的就是构建KD树的基本思路，其构建后的KD树如下图所示

 

 如图所示，l1左边都是语文成绩低于45分，l1右边都是语文成绩高于45分的；l2下方都是语文成绩低于45分且数学成绩低于50分的，l2上方都是语文成绩低于45分且数学成绩高于50分的，后面以此类推。下面的图示，更清晰地表示了KD树的结构及其对应的二叉树：

 

树的构建 

a）切分维度选择优化
构建开始前，对比数据点在各维度的分布情况，数据点在某一维度坐标值的方差越大分布越分散，方差越小分布越集中。从方差大的维度开始切分可以取得很好的切分效果及平衡性。
b）中值选择优化
第一种，算法开始前，对原始数据点在所有维度进行一次排序，存储下来，然后在后续的中值选择中，无须每次都对其子集进行排序，提升了性能。
第二种，从原始数据点中随机选择固定数目的点，然后对其进行排序，每次从这些样本点中取中值，来作为分割超平面。该方式在实践中被证明可以取得很好性能及很好的平衡性。
本文采用常规的构建方式，以二维平面点(x,y)的集合(2,3)，(5,4)，(9,6)，(4,7)，(8,1)，(7,2)为例结合下图来说明k-d tree的构建过程。
a）构建根节点时，此时的切分维度为x，如上点集合在x维从小到大排序为(2,3)，(4,7)，(5,4)，(7,2)，(8,1)，(9,6)；其中值为(7,2)。（注：2,4,5,7,8,9在数学中的中值为(5 + 7)/2=6，但因该算法的中值需在点集合之内，所以本文中值计算用的是len(points)//2=3, points[3]=(7,2)）
b）(2,3)，(4,7)，(5,4)挂在(7,2)节点的左子树，(8,1)，(9,6)挂在(7,2)节点的右子树。
c）构建(7,2)节点的左子树时，点集合(2,3)，(4,7)，(5,4)此时的切分维度为y，中值为(5,4)作为分割平面，(2,3)挂在其左子树，(4,7)挂在其右子树。
d）构建(7,2)节点的右子树时，点集合(8,1)，(9,6)此时的切分维度也为y，中值为(9,6)作为分割平面，(8,1)挂在其左子树。至此k-d tree构建完成。