矩阵与数列优化

Posted 2021-01-07 czktransformers

心怀滕王高阁，手握物理周测······心绪阑干。校服不耐五更寒。

请看这样一道小题：原题地址https://www.luogu.org/problemnew/show/P1939；

题目描述

a[1]=a[2]=a[3]=1

a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)

求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值。

其中n高达2*10^9。

于是暴力挂了，只能另寻它道。

这时，学习后几乎从未使用过的技能矩阵乘法终于亮出了刀锋。

矩阵乘法与递推数列的求和有何关系？

针对此题，我们可以视数列为1x3矩阵{a[x-3],a[x-2],a[x-1]},由此矩阵乘以某个矩阵后得到新的1x3矩阵{a[x-2],a[x-1],a[x]}。

又因为a[x]=a[x-1]+a[x-3]，利用矩阵乘法性质，构造出了3x3矩阵

0 0 1

1 0 0

0 1 1

直接利用矩阵快速幂

设原矩阵为a，构造矩阵为b，所求矩阵为c，则k>=3时，有c=a*(b^(k-3))；

以此，得以AC。

不过输出时一定记得取模！！！我就这样挂掉了第一遍，只得十分。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const ll modd=1e9+7;
ll n,k,T;
struct zz
{
    ll x[4][4];
    int n,m;
    zz operator * (zz b) const 
    {
        zz mid;
        mid.n=n;
        mid.m=b.m;
        memset(mid.x,0,sizeof(mid.x));
        for(int i=1;i<=mid.n;i++)
            for(int j=1;j<=mid.m;j++)
                for(int k=1;k<=m;k++)
                    mid.x[i][j]=mid.x[i][j]%modd+x[i][k]*b.x[k][j]%modd;
        return mid;
    }
}dw;
zz ksm(zz a,ll k)
{
    zz c;c.n=3;c.m=3;
    memset(c.x,0,sizeof(c.x));
    c.x[1][1]=c.x[2][2]=c.x[3][3]=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)c=c*a;
        a=a*a;
        k>>=1; 
    }
    return c;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&T);
    zz s,t;
    s.n=s.m=3;dw.n=1;dw.m=3;
    s.x[1][1]=0;s.x[1][2]=0;s.x[1][3]=1;
    s.x[2][1]=1;s.x[2][2]=0;s.x[2][3]=0;
    s.x[3][1]=0;s.x[3][2]=1;s.x[3][3]=1;
    dw.x[1][1]=dw.x[1][2]=dw.x[1][3]=1;
    while(T--)
    {
        scanf("%lld",&k);
        if(k<=3){printf("1
");continue;}
        t=ksm(s,k-3);
        t=dw*t;
        printf("%lld
",t.x[1][3]%modd);
    }
    return 0;
}

同样滴，对于斐波那契数列，矩阵乘法同样是相当适用。

F(0)=1 , F(1)=1 , F(n)=F(n-1)+F(n-2)

矩阵变为2x2

0 1

1 1

对于像洛谷1306这种题，最后一组数据甚至卡爆了大部分题解，唯有矩乘方能刷过（打表这种面向数据编程的方法不算）

总结一句，对于递推数列求项数，矩乘实在是不二之选，构造也十分轻松。