UVa 11440 - Help Tomisu（欧拉函数 + 问题转换）

Posted 2021-01-07 hkxy125

链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2435

 

题意：

给定正整数N和M，统计2和N!之间有多少个整数x满足：x的所有素因子都大于M（2≤N≤1e7，1≤M≤N，N-M≤1e5）。
输出答案除以100000007的余数。例如，N=100，M=10时答案为43274465。

 

分析：

因为M≤N，所以N!是M!的整数倍。“所有素因子都大于M”等价于和M!互素。
另外，根据最大公约数的性质，对于k>M!，k与M!互素当且仅当k mod M!与M!互素。
这样，只需要求出“不超过M!且与M!互素的正整数个数”，再乘以N!/M!即可。
这样，问题的关键就是求出phi(M!)。因为有多组数据，考虑用递推的方法求出所有的phifac(n)=phi(n!)。
由phi函数的公式：phi(n) = n(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pk)，
如果n不是素数，那么n!和(n-1)!的素因子集合完全相同，因此phifac(n)=phifac(n-1)*n；
如果n是素数，那么还会多一项(1-1/n)，即(n-1)/n，约分得phifac(n)=phifac(n-1)*(n-1)。

 

代码：

 1 import java.io.*;
 2 import java.util.*;
 3 import static java.lang.Math.*;
 4 import static java.util.Arrays.*;
 5 
 6 public class Main {
 7     Scanner cin = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
 8     final long MOD = (long)1e8 + 7;
 9     final int UP = (int)1e7 + 5;
10     boolean isp[] = new boolean[UP];
11     long phifac[] = new long[UP];
12     
13     void constant() {
14         fill(isp, true);
15         int u = (int)sqrt(UP+0.5);
16         for(int i = 2; i <= u; i++) if(isp[i]) {
17             for(int j = i*i; j < UP; j += i) isp[j] = false;
18         }
19         phifac[1] = phifac[2] = 1;
20         for(int i = 3; i < UP; i++)
21             phifac[i] = phifac[i-1] * (isp[i] ? i-1 : i) % MOD;
22     }
23     
24     void MAIN() {
25         constant();
26         while(true) {
27             int n = cin.nextInt();
28             int m = cin.nextInt();
29             if(n + m == 0) break;
30             long ans = phifac[m];
31             for(int i = m+1; i <= n; i++) ans = ans * i % MOD;
32             System.out.println((ans-1+MOD)%MOD); // 注意这里要减1，因为题目从2开始统计
33         }
34     }
35     
36     public static void main(String args[]) { new Main().MAIN(); }
37 }