树与二叉树

Posted 2021-01-07 tianzeng

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　树

1.基本概念：

　　①树是n(n>=0)个节点的集合T，当n==0时，称为空树；当n>0时，该集合满足以下条件

　　②必有个根节点，他没有直接前驱，有零个或多个后继。

　　③其余n-1个结点划分成m（m>=0）个互不相交的有限集。每一个称为根的子树，每个子树的根节点有且仅有一个直接前驱，但有零个或多个直接后继。

2.树的相关术语：

1. 结点：包括一个数据元素及若干指向其结点的分支信息
2. 结点的度：一个节点的子树个数
3. 叶节点：度为0的结点，即无后继的结点，也称终端结点
4. 分支结点：度不为零的结点，也称非终端结点
5. 结点的层次：从根节点开始定义，根节点的层次为1，根的直接后继的层次为2，以此类推
6. 节点的层序编号：将数中的结点按从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数
7. 树的度：树中所有结点的度的最大值
8. 树的高度（深度）：数中所有结点的层次的最大值
9. 有序树：在树T中，如果个子树之间有先后次序的，则称为有序树
10. 森林：m（m>=0）个互不相见交的树的集合，将一颗非空树的根节点删去，树就变成一个森林；繁殖给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树
11. 同构：对两棵树，通过对结点是当地重命名，就可以使两棵树完全相等，（对应结点相等，对应结点的相关关系也相等），则称为两棵树的同构
12. 孩子结点：一个结点的直接后继称为该结点的孩子结点
13. 双亲结点：一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点
14. 兄弟结点：同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点
15. 堂兄结点：父亲是兄弟关系或堂兄弟关系的陈伟堂兄弟结点
16. 祖先结点：一个结点的祖先结点是指从根结点到该结点的路径上的所有结点
17. 子孙结点：一个结点的直接后继和间接后继称为该节点的子孙结点
18. 前辈：层号比该结点小的结点
19. 后辈：层号比该结点大的结点

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二叉树

定义：

1. 每个结点的度都不大于二
2. 每个结点的孩子节点的次序不能任意颠倒

性质1：

　　二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点

性质2：

　　深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点

性质3：

　　对任意一棵二叉树T，若终端结点数为n，其度为2的结点数是N，则n=N+1

　　树中的结点数等于树的边数加1，也等于所有结点的度数之和加1。

满二叉树：

　　深度为k且有2^k-1个结点的二叉树

满二叉树的顺序表示：

　　按从上层到下层，同层从左到右的的顺序逐层进行编号

完全二叉树：

　　深度为k，结点数为n的二叉树，如果结点1~n的位置序号分别于等高的满二叉树结点1~n的位置序号一一对应，则为完全二叉树

　　满二叉树必为完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

性质4：

　　具有n个结点的完全二叉树深度为(int)floor(log2n)+1

性质5：

　　对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上到下和从左到右的顺序对二叉树的所有结点从1开始编号，则对于任意的序号i的结点有：

　　　　①如i==1,则序号为i的结点是根结点，无双亲结点；如i>1，则序号为i的节点的双亲结点序号为(int)floor(i/2)

　　　　②如2*i>n，则序号为i的结点无左孩子；2*1<=n，则序号为i的节点的左孩子的结点序号为2*i

　　　　③如2*i+1>n，则序号为i的结点无右孩子；2*i+1<=n，则序号为i的节点的右孩子的结点序号为2*i+1