CF1042E Vasya and Magic Matrix

Posted 2021-01-07 czxingchen

感觉不会期望。

首先把所有格子按照权值从小到大排一下序，这样一共有$n * m$个元素，每个元素有三个属性$x, y, val$。

下文中的下标均为排序后的下标。

这样子我们就可以推出公式：

　　　　$f_i = frac{1}{k}sum_{j = 1}^{k}(f_j + (x_j - x_i)^2 + (y_j - y_i)^2)$    $($保证$val_j < val_i$并且这样的元素一共有$k$个$)$。

暴力转移是$n^2$的，但是我们可以把这个式子拆开：

　　　　$f_i = frac{1}{k}sum_{j = 1}^{k}f_j + x_i^2 + y_i^2 + frac{1}{k}sum_{j = 1}^{k}x_j^2 + frac{1}{k}sum_{j = 1}^{k}y_j^2 - frac{2x_i}{k}sum_{j = 1}^{k}x_j - frac{2y_i}{k}sum_{j = 1}^{k}y_j$

维护$sum_{i = 1}^{k}x_i^2$、$sum_{i = 1}^{k}y_i^2$、$sum_{i = 1}^{k}y_i$、$sum_{i = 1}^{k}x_i$、$sum_{i = 1}^{k}f_i$五个前缀和就可以$O(n)$转移了。

要注意$val_i$可能为$0$。

加上算逆元的时间一共是$O(nmlogP)$。

Code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 1005;
const int M = 1e6 + 5;
const ll P = 998244353LL;

int n, m, tot = 0;
ll a[N][N], f[M];

struct Item {
    ll x, y, val;
} b[M];

bool cmp(const Item &u, const Item &v) {
    return u.val < v.val;
}

inline ll fpow(ll x, ll y) {
    ll res = 1LL;
    for(; y > 0; y >>= 1) {
        if(y & 1) res = res * x % P;
        x = x * x % P;
    }
    return res;
}

inline void up(ll &x, ll y) {
    x = ((x + y) % P + P) % P;
}

template <typename T>
inline void read(T &X) {
    X = 0; char ch = 0; T op = 1;
    for(; ch > ‘9‘ || ch < ‘0‘; ch = getchar())
        if(ch == ‘-‘) op = -1;
    for(; ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘; ch = getchar())
        X = (X << 3) + (X << 1) + ch - 48;
    X *= op;
}

int main() {
    read(n), read(m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            read(a[i][j]);
            b[++tot].x = 1LL * i, b[tot].y = 1LL * j, b[tot].val = a[i][j];
        }
    
    int stx, sty, pos; read(stx), read(sty);
    sort(b + 1, b + 1 + tot, cmp);
    for(int i = 1; i <= tot; i++)
        if(b[i].x == stx && b[i].y == sty) {
            pos = i;
            break;
        }
    
    ll sumx = 0LL, sumy = 0LL, sumx2 = 0LL, sumy2 = 0LL, sumf = 0LL; int k = 0;
    for(int i = 1; i <= pos; i++) {
        for(; b[k].val < b[i].val && k <= pos; k++) {
            up(sumx, b[k].x), up(sumy, b[k].y);
            up(sumx2, b[k].x * b[k].x % P), up(sumy2, b[k].y * b[k].y % P);
            up(sumf, f[k]);
        }
        if(k <= 1) continue;
        ll invK = fpow(k - 1, P - 2);
        up(f[i], invK * sumf % P);
        up(f[i], b[i].x * b[i].x % P), up(f[i], b[i].y * b[i].y % P);
        up(f[i], invK * sumx2 % P), up(f[i], invK * sumy2 % P);
        up(f[i], -2LL * b[i].x % P * invK % P * sumx % P), up(f[i], -2LL * b[i].y % P * invK % P * sumy % P);
    }
    
    printf("%lld
", f[pos]);
    return 0;
}

View Code

提醒自己：写快速幂不要把函数名写成$pow$，因为这样WA了很多次。