矩阵树定理

Posted 2021-01-07 fzl194

引用：https://blog.csdn.net/Marco_L_T/article/details/72888138

1、无向图

一个图的邻接矩阵G：对于无向图的边(u,v)，G[u][v]++,G[v][u]++

一个图的度数矩阵D：对于无向图的边(u,v)，D[u][u]++,D[v][v]++;

而通过这两个矩阵就可以构造出图G的基尔霍夫矩阵：C=D-G.

Matrix Tree定理：将图G的基尔霍夫矩阵去掉第i行和第i列(i可以取任意值，可以证明所得到的结果相同)，得到(n-1)*(n-1)的矩阵，

                                  对这个矩阵进行行列式的值求解，abs(det(A))即为图G的生成树个数。

求解矩阵行列式的时候，计算常数k时为了避免精度丢失，可以通过计算逆元进行求解(不需要取模时，mod一个大质数即可).

2、有向图

树形图：以i点为根节点的树形图有(n-1)条边，从i节点出发可以到达其他所有(n-1)个节点.

定义： 有向图的邻接矩阵G：对于有向图的边(u,v)，G[u][v]++.

              有向图的度数矩阵D：对于有向图的边(u,v)，D[v][v]++.

              尤其需要注意的是：有向图的度数矩阵指的是一个点的入度，而不是出度。

              而有向图的基尔霍夫矩阵的构造方式是一模一样的：C=D-G.

有向图Matrix Tree定理：

             将有向图G的基尔霍夫矩阵去掉第i行和第i列，得到(n-1)*(n-1)的矩阵，

             对这个矩阵进行行列式的值求解，abs(det(A))就是以i为根的树形图的个数。