自然底数e的意义是什么？

Posted 2021-01-07 dicksonjyl

自然底数e的意义是什么？

 

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e是一个重要的常数，但是我一直不知道，它的真正含义是什么。

它不像π。大家都知道，π代表了圆的周长与直径之比3.14159，可是如果我问你，e代表了什么。你能回答吗？

维基百科说：

"e是自然对数的底数。"

但是，你去看"自然对数"，得到的解释却是：

"自然对数是以e为底的对数函数，e是一个无理数，约等于2.718281828。"

这就构成了循环定义，完全没有说e是什么。数学家选择这样一个无理数作为底数，还号称这种对数很"自然"，这难道不是很奇怪的事情吗？

 

原因很简单，因为e和自然数0,1,2……一样自然。

 

1

可以说，数学整个学科都是人为创造出来，被用来了解自然和了解人类本身的。

由于人类有可数的十根手指，于是我们用了十进制。不过如果有一个外星人有四根手指呢？他们是不是就使用四进制呢？
如果外星人是有无法数清的触手的触手怪呢？
所以数学的很多分支都是为了了解人类本身被研究的，它不自然。
自然的事物中，其中的一种是世界上正在发生的一切。

 

2

为了研究世界上正在发生的一切，人类在数学之外又创造了物理、化学、生物等等学科，它们被称作“自然科学”。显然在这些课本中，数字到底是十进制还是四进制并无大碍，人类正在脱离了解人类本身这一范畴，开始了解世界。

人类对世界的最深层次的疑惑，在诞生之日就一直是是：
在下一个时刻会发生什么？

 

3

这一疑惑贯穿了人类的全部历史，在此不深入研究。

不过，此时人类发现：
尽管自己能够对一些东西做出改变，但是对另一些东西却无能为力。
如果你推一个东西，这个东西就会动。如果愚公愿意，他可以和他的子子孙孙无数代一起把太行山和王屋山搬走。
但是愚公会死，他的子子孙孙都会死。
时间，事物的变化，或许真的如同某些神谕一样，是上天安排的。

 

4

在人类对这两种变化感到深深地迷茫的时候，人类的数学却在纠结着十进制和四进制的事情，把毕达哥拉斯以后的近两千年的时间让位给了宗教。

然而人类不可能彻底把对自然的理解交给神。数学将以一种最新的形态回到我们对自然的理解中。
跟着新的数学而来的，还有物理，化学，生物等等自然科学。
是的，不管你如何讨厌它，没有它，或许现在的世界依然没有走出教会的中世纪，我们对世界的了解，依然是所谓的神谕。

 

5

了解世界的过程中，我们倾向于研究可测量的量。

然而在神学统治世界的两千年中，变化的特别要素，时间，只能以日晷上的小时来测量。
或许是哪位在封建主的领地里放羊的小孩，在路过潺潺的山泉的时候的发现吧。
那些一滴一滴，时间间隔相同的缓缓滴落的水滴，敲响了万能神的丧钟吧。
人类通过这些水滴，意识到：
身边一直正在发生的 所谓变化，是可以测量的。

 

6

铅球从比萨斜塔的五楼落下，用了六滴水的时间。

而从二楼落下，也要用三滴水的时间。
这是人类对那一种“自己能够掌握”的变化的初步研究。
也正是在这一次研究中，人类知道了：

 

我们身边的一切事物的特征，除以无时无刻不在流逝的时间，不就是他们的变化吗。

 

7

在自然数、几何之后，数学跑偏两千年之久。

而在这个我们开始把时间称作“滴答滴答地流逝”的文艺复兴的时代，自然数学盛装归来。
和很多人的认识不同，这门新的数学是比代数自然得多的学科。
因为它研究的，就是两千年来被神掌握的“变化的规律”。
这一自然规律，由于时间的测量技术变得可测量。
也正是这门科学，打破了人类对自然认识的最后一道，也是最难被逾越的一道障碍。
相信不用我说，大家都知道，所谓自然数学有一个更响亮的名字，叫做微积分。

 

8

人们知道，时间是无时无刻不在流逝的，相应的变化也无时无刻不在发生。

对于变化的研究，先从最容易测量的物体的位置开始。
因为我们已经通过对变化的理解，定义了速度和加速度。
就在水滴旁的男孩将铅球一次又一次从比萨斜塔上扔下去的时候，他惊讶地找到了一个不变量：
地球给铁球的加速度。

 

9

后来，人们发现了所有的位置变化速度的变化，都是人类可以通过自己的力量施加给自然的东西。

此时，人类对自己能够改变的未来，已经有了初步的理解。
不过人类并不甘心，因为为什么还有不可掌握的未来存在？

 

10

一杯热水什么时候冷掉？

 

大火什么时候熄灭？
植物什么时候长成？
动物什么时候繁衍？
很多问题，人类最多只能改变进程，不能改变结果。
后来，人们发现：
热水自然会冷掉。
大火自然会熄灭。
植物自然会长成。
动物自然会繁衍。
这里的“自然”，
就是自然本身赋予事物的有关变化属性。

 

11

力，称为人类改变外界的媒介的东西，是事物随着外界环境变化的一种属性。

我们可以表示为：
A物体速度的变化=外界的力
而外界的力和A物体速度无关。
然而热水的冷却不一样。
经过测量，我们发现：
热水冷却的速度只和热水与环境的温度差正比例相关。
于是我们得到了：
热水温度的变化=确定数量×（热水温度-环境温度）
这是自然本身赋予热水的变化属性。
与外界无关。

 

12

于是通过上面热水的例子，我们把自然本身赋予事物的有关变化属性抽象一下，总能得到一个等式。

那就是：
A的变化=A本身的某种性质
当然，最简单的情况当然是：
A的变化=A的数量×确定数量。
为了研究这个简单的问题，人类又把目光放在了自然界。

 

13

这时自然研究者已经分成了两队，一队前往大自然寻求这个问题答案，只因为他们知道：

自然界很多生物的性质，决定了他们的生活、习性，当然包括了变化。
一堆前往实验室寻求这个问题的答案，只因为他们已经在实验室中找到了几个符合这个问题描述的变化。
我们叫第一种人生物学家，第二种人物理学家。
不过，他们的目标是一样的。
那是因为，他们都知道：
热水自然会冷掉。
大火自然会熄灭。
植物自然会长成。
动物自然会繁衍

 

14

怀着对自然的敬畏，他们上路了。

我们先讲生物学家的故事，因为他们很久以前就发现了一些规律。
一对兔子一年生一窝，一年10对兔子存活，t年后一共有多少兔子？
这是一个连小学五年级的学生都会得算数，答案是10的t次方。生物学家在看到
A的变化=A的数量×确定数量
的时候，一下就想到了这个题目。
可以看到，t这个数字，在计算的结果中跑到了10的指数的位置上。
一声叹息。生物学家知道，这个老掉牙的题目在几千年前，人类就已经知道答案了。
如果人类在当时就有所思考，也就没有所谓的黑暗的中世纪了吧。
但是生物学家知道这并不是问题的答案。
因为，兔子的数量是每年变化一次的，而自然，则要求时间无时无刻不在流逝。
思忖良久，生物学家将“指数”两个字记在本子上，开始寻找更多的证据。

 

15

此时物理学家正在对着自己误差巨大的数据发愁。

尽管已经能精确地测出距离和时间，但对于温度的测量还是一筹莫展。
虽然知道最终的正确数值是一条弧线，但他还要用已知的变化关系去和这一关系对照。
如果能够得到热水冷却的这一条弧线，一切的问题都能迎刃而解吧。
此时，物理学家脑中蹦出一种想法。
推动冷却的会不会是一种力呢？
可不可以用变化率、变化率的变化率等等来表示呢？
即使它不是一种变化率的叠加，那可不可以用这种变化率来近似呢？

 

16

生物学家找到了更多比兔子繁衍更快的物种。

蘑菇、酵母、细菌……
到了最后，甚至找到了几秒就能分裂一次的病毒。
他的笔记中，底数在不断地改变，但是t在指数的位置却没有改变。
有一天，在睡梦中，他突然梦见了什么。
他猛然惊醒，打开床头柜，开始计算了起来。
A病毒的性质如果是1分秒钟分裂成2倍，那它5秒钟分裂成多少倍？
1秒钟呢？
那么它到底具有怎样的分裂性质呢？
算到最后，他列出了一个算式。
如果它有1分钟分裂成2倍的性质，
那么当它分裂成1.10倍的时候，过1分钟应该分裂成2.20倍。
分裂成1.20倍的时候，过1分钟又应该分裂成2.40倍。
所以最后的结果，和2倍肯定会有很大的偏差。
经过计算之后，生物学家困意已消，他抹去了头上的汗水。
天空泛起了鱼肚白，而这个世界已然没有睡意。
他的草稿本的最后一行是：
自然的底数：limx→+∞ (1+1/x)^x

 

17

物理学家研制了越来越精确的仪器和设备。

他知道，所谓推动上一层的“力”，也就是变化率是常数罢了，而表现在公式中，则是要多乘上一个时间和时间的系数。
最终的结果，自然是一堆有关时间t的幂的集合。
有一次物理学家突发奇想，于是控制变量之后，物理学家把确定数量值变为了1，把环境变为了0度。也就是说现在热水温度的变化率变成了它自己。他坚信这样可以更方便地测出真正的规律。
此时物理学家突然意识到了什么。
我们都知道，如果位置变化是t的2次方，那么它的变化率也就是速度就是2t，变化率的变化率就是2。
那么如果位置变化是t的7次方呢？
那位置的7重变化率就是1×2×3×4×5×6×7。
那么由于这一变化由无数的“变化率的变化率”组成，显然这些“力的推动力”的变化率，是“被这些力推动的力”的整数倍。
而又由于热水温度的变化率是它自己，所以每个力都和被它推动的力有确定的倍数关系！
物理学家飞速地列出了最终唯一的关系式，并且当他做完实验的时候，结果竟然和关系式完全符合！
他笑了，因为他的努力终究有了成果。
他的之上留下了一行算式：
自然公式取1的值T(1)=1+1+1/2+1/(2×3)+1/(2×3×4)+1/(2×3×4×5)……

 

18

物理学家和生物学家相聚了。

“我已经找到将不可掌握的未来，用自然的公式表达出来了。”
“我也是。”
“自然的公式是指数。”
“不，自然的公式是幂的和。”
物理学家的黑板上写着Σx=0 +∞(t^x)/x!
而生物学家的黑板上则写着limx→+∞ (1+1/x)^xt
两人相视而笑。
是的，自然的公式只有一个，两个公式事实上完全等同。

 

19

给它命个名吧，

“我建议用e^x，因为这是一个显然的指数函数。”生物学家说。
“听我说，我建议用exp(x)，来表示它的自然和连续性。”物理学家说。
两人离开，留下了两块被拼在一起的黑板。
物理学家那边，写着：
exp(1)=Σx=0 +∞1/x!≈2.71828
生物学家那边，写着：
e=limx→+∞ (1+1/x)^x≈2.71828
而拼起来的黑板，则组成了：
dy/dx=y的方程。

 

20 尾声

人类终于迈出了认识未知自然的一步。
从此，即便是自然本身的规律，也已经被人类了然于心。
我们不需要再担心一些不可能发生的事，从而把我们的能力使用在正确的地方。
尽管上文的物理学家和生物学家都是杜撰的人物，不过还是希望读者能够通过e这个数值的推断过程来体会一下e到底是什么，以及它在科学中的作用。