POJ 1704 Georgia and Bob（阶梯博弈）题解

Posted 2021-01-07 kirinsb

题意：有一个一维棋盘，有格子标号1,2,3，......有n个棋子放在一些格子上，两人博弈，只能将棋子向左移，不能和其他棋子重叠，也不能跨越其他棋子，不能超越边界，不能走的人输

思路：可以用阶梯博弈来做。

那么先简单讲一下阶梯博弈：

有一个x阶阶梯，每一阶都有一定数量的石头，每次只能把某一阶梯上任意数量（不为0）的石头往下移动一阶，最多只能移动到地面，不能移动的败。这里先手的策略是这样：对奇数阶阶梯的石子进行Nim博弈，异或和为0必败。为什么不用考虑偶数呢？因为如果后手的人把m颗石头从2*n阶移到2*n-1阶，那么先手的可以把m颗石头从2*n-1阶移到2*n-2阶，重复操作直到到0阶即地面，所以我们可以不考虑偶数阶的石子数。所以奇数阶的石子被移到下一阶时，我们可以直接认为这些石头被移除了。那么直接Nim博弈就可以了。

返回这道题，如图，假如我们把棋子A向左移动一定数量，那么我们可以把棋子B向左移动相同数量来保证AB间隔不变，这里就和阶梯博弈时移动偶数阶石子奇数阶石子数量不变是一样的。所以我们从最后一个棋子开始往前分组，两个一组，每一组的间隔就是奇数阶石子个数。讲一下为什么从最后面开始分，因为最后一个间隔不会因为其他间隔的变化而变小，所以必须作为奇数阶石子保持不变（强行这样理解）。

参考：阶梯博弈算法详解（尼姆博弈进阶）

代码：

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
const int maxn = 1000 + 10;
const int seed = 131;
const ll MOD = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
using namespace std;
int a[maxn];
int main(){
    int T, n;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        sort(a + 1, a + n + 1);
        int ans = 0;
        for(int i = n; i > 0; i -= 2){
            ans ^= (a[i] - a[i - 1] - 1);
        }
        if(ans == 0) printf("Bob will win
");
        else printf("Georgia will win
");
    }
    return 0;
}