数学模型：4. 蒙特卡罗模拟
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随机算法
1. 蒙特卡罗模拟
蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，是以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法
使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。
① π的计算
② 计算积分 y = x**2
③ 排队上厕所问题
import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt % matplotlib inline
# π的计算 from matplotlib.patches import Circle n = 10000 # 投点次数 r = 1.0 # 半径 a, b = (0.0, 0.0) # 圆心 # 圆的信息 x_min, x_max = a-r, a+r y_min, y_max = b-r, b+r # 正方形区域边界 x = np.random.uniform(x_min, x_max, n) # 均匀分布 y = np.random.uniform(y_min, y_max, n) # 在正方形区域内随机投点 # numpy.random.uniform(low,high,size) → 从一个均匀分布[low,high)中随机采样，均匀分布 fig = plt.figure(figsize=(6, 6)) axes = fig.add_subplot(1, 1, 1) plt.plot(x, y, ‘ro‘, markersize = 1) plt.axis(‘equal‘) # 制图 d = np.sqrt((x - a)**2 + (y - b) ** 2) res = sum(np.where(d < r, 1, 0)) # 计算点到圆心的距离 # 统计落在圆内的点的数目 pi = 4 * res / n print(pi) circle = Circle(xy = (a,b),radius = r, alpha = 0.5 ,color = ‘gray‘) axes.add_patch(circle) plt.grid(True, linestyle = "--",linewidth = "0.8") plt.show() # 绘制圆形
# 计算积分 y = x**2 n = 10000 # 投点次数 x_min, x_max = 0.0, 1.0 y_min, y_max = 0.0, 1.0 # 矩形区域边界 x = np.random.uniform(x_min, x_max, n) # 均匀分布 y = np.random.uniform(y_min, y_max, n) # 在矩形区域内随机投点 def f(x): return x**2 # 创建函数 y = x**2 res = sum(np.where(y < f(x), 1, 0)) # 统计 落在函数 y=x^2图像下方的点的数目 integral = res / n print(‘integral: ‘, integral) # 计算 定积分的近似值 fig = plt.figure(figsize = (6,6)) axes = fig.add_subplot(111) axes.plot(x, y,‘ro‘,markersize = 1) plt.axis(‘equal‘) # 绘制散点图 xi = np.linspace(0,1,100) yi = xi ** 2 plt.plot(xi,yi,‘--k‘) plt.fill_between(xi, yi, 0, color =‘gray‘,alpha=0.5,label=‘area‘) plt.grid() # 绘制 y = x**2 面积图
# 厕所排队问题 # 1、两场电影结束时间相隔较长，互不影响； # 2、每场电影结束之后会有20个人想上厕所； # 3、这20个人会在0到10分钟之内全部到达厕所）； # 4、每个人上厕所时间在1-3分钟之间 # 首先模拟最简单的情况，也就是厕所只有一个位置，不考虑两人共用的情况则每人必须等上一人出恭完毕方可进行。 # 分析：对于每个人都有如下几个参数： # 到达时间 / 等待时间 / 开始上厕所时间 / 结束时间 arrivingtime = np.random.uniform(0,10,size = 20) arrivingtime.sort() workingtime = np.random.uniform(1,3,size = 20) # np.random.uniform 随机数：均匀分布的样本值 startingtime = [0 for i in range(20)] finishtime = [0 for i in range(20)] waitingtime = [0 for i in range(20)] emptytime = [0 for i in range(20)] # 开始时间都是0 #print(‘arrivingtime ‘,arrivingtime,‘ ‘) #print(‘workingtime ‘,workingtime,‘ ‘) #print(‘startingtime ‘,startingtime,‘ ‘) #print(‘finishtime ‘,finishtime,‘ ‘) #print(‘waitingtime ‘,waitingtime,‘ ‘) #print(‘emptytime ‘,emptytime,‘ ‘) print(‘------‘) startingtime[0] = arrivingtime[0] # 第一个人之前没有人，所以开始时间 = 到达时间 finishtime[0] = startingtime[0] + workingtime[0] # 第一个人完成时间 = 开始时间 + “工作”时间 waitingtime[0] = startingtime[0]-arrivingtime[0] # 第一个人不用等待 for i in range(1,len(arrivingtime)): if finishtime[i-1] > arrivingtime[i]: startingtime[i] = finishtime[i-1] else: startingtime[i] = arrivingtime[i] emptytime[i] = arrivingtime[i] - finishtime[i-1] finishtime[i] = startingtime[i] + workingtime[i] waitingtime[i] = startingtime[i] - arrivingtime[i] print(‘第%d个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 ‘ %i, arrivingtime[i], startingtime[i], workingtime[i], finishtime[i], waitingtime[i], ‘ ‘) print(‘arerage waiting time is %f‘ %np.mean(waitingtime)) print(‘------‘) # 判断：如果下一个人在上一个人完成之前到达，则 开始时间 = 上一个人完成时间， # 否则 开始时间 = 到达时间，且存在空闲时间 = 到达时间 - 上一个人完成时间 fig = plt.figure(figsize = (6,4)) plt.plot(waitingtime, ‘-go‘) plt.grid(True,linestyle=‘--‘, color = ‘gray‘,linewidth = ‘0.8‘) plt.title(‘蒙特卡罗模拟 - 排队上厕所问题‘) plt.show() # 图表绘制
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------ 第1个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 1.47846212718 2.90015955179 2.43550313768 5.33566268947 1.42169742461 第2个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 1.50766524856 5.33566268947 1.70026811206 7.03593080153 3.82799744091 第3个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 1.68971606051 7.03593080153 2.55933351317 9.59526431469 5.34621474102 第4个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 3.22500117584 9.59526431469 2.23730595589 11.8325702706 6.37026313886 第5个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 3.68624845537 11.8325702706 1.96298225381 13.7955525244 8.14632181522 第6个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 3.748728758 13.7955525244 1.13434491219 14.9298974366 10.0468237664 第7个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 3.76353770932 14.9298974366 2.97251793218 17.9024153688 11.1663597273 第8个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 4.04448060386 17.9024153688 1.52642253332 19.4288379021 13.8579347649 第9个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 5.15292640194 19.4288379021 2.8327295047 22.2615674068 14.2759115002 第10个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 6.39798292569 22.2615674068 2.48704326285 24.7486106697 15.8635844811 第11个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 6.46150544161 24.7486106697 2.75523182998 27.5038424996 18.287105228 第12个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 6.83020450863 27.5038424996 2.82170691612 30.3255494157 20.673637991 第13个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 7.54986448877 30.3255494157 1.32813398415 31.6536833999 22.775684927 第14个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 7.74933683577 31.6536833999 2.01805818046 33.6717415804 23.9043465641 第15个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 8.42722353547 33.6717415804 1.0300259968 34.7017675772 25.2445180449 第16个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 8.76080737972 34.7017675772 1.69860652295 36.4003741001 25.9409601974 第17个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 9.02778847556 36.4003741001 2.19029299704 38.5906670971 27.3725856245 第18个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 9.0683463525 38.5906670971 1.74875934398 40.3394264411 29.5223207446 第19个人：到达时间 开始时间 “工作”时间 完成时间 等待时间 9.51437407844 40.3394264411 1.52156911323 41.8609955544 30.8250523627 arerage waiting time is 15.743466 ------
以上是关于数学模型：4. 蒙特卡罗模拟的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章