卡特兰数以及其应用

Posted 2021-01-07 linshuhui

一、一个关于找零的经典问题

2n个人排队买票，其中n个人持50元，n个人持100元。每张票50元，且一人只买一张票。初始时售票处没有零钱找零。请问这2n个人一共有多少种排队顺序，不至于使售票处找不开钱？

这个问题换而言之就是，服务过的持50的客户数量一定要大于等于持100的。解决的思路大致如下：

其实上面的解法本质就是卡特兰数：

所谓的卡特兰数就是满足下面式子：

卡特兰数的前几项是1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430

二、括号匹配问题

给你2*n个括号，当然是n个左括号，n个右括号，这样才能匹配。问有多少种匹配方式，

显然和上面的找零问题基本是完全一样的。完全符合卡特兰数的特征。

三、出栈的次序

给你n个数，进栈的序列是1,2,3,4,…..n，有多少个不同的出栈次序

其实把入栈看成一个左括号，出栈看成一个右括号，那么上面这个问题又转化为上面的括号匹配的问题，所以又可以直接使用卡特兰数解决。

四、不同的二叉搜索树

给定节点组成二叉树：给定n个点，能构成多少种不同的二叉树。 

一个二叉树由三部分组成根节点，左子树，右子树。左子树的节点个数可能是0,1,2,3,…n-1,相应的右子树的节点个数可能是n-1,n-2,n-3,……3,2,1,0.由于左子树和右子树是独立的，

所以满足乘法原则。根据左子树的不同的节点数会产生不同的情况，满足加法原则所以f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0） 也符合卡特兰数