P3368 （模板 ）树状数组2

Posted 2021-01-07 darkchii

　　借这个题学新姿势，这个题需要利用差分才能AC，普通树状树有3个点过不了。

　　差分原理（参考题解区大佬）：

　　一个例子，一组数据 $ a[] = { 1, 5, 4, 2, 3 } $，差分后得到 $ b[] = { 1, 4, -1, -2, 1 } $，其中 $ a_0 = 0, b_i = a_i - a_{i - 1} $，求原数组 $ a_n $ 某个位置 $ i $ 上的值。

　　由 $ b_i = a_i - a_{i - 1} Rightarrow a_i = b_i + a_{i - 1} $，于是

$$ left. egin{aligned} a_i &= b_i + a_{i - 1} \ a_{i - 1} &= b_{i - 1} + a_{i - 2} \ vdots \ a_1 &= b_1 + a_0 end{aligned} ight } + $$

　　$ Rightarrow  a_i = b_i + b_{i - 1} + cdots + b_1 + a_0 $ ，注意到 $ a_0 = 0 $，于是 $ a_i = sum_{i = 1}^{n} b_i $ 。这样就求出了原数组位置上的值了。

　　然后再看看如何更新区间的值呢。

　　我们对 a 数组区间 2 ~ 4 每个值进行 +2 操作，得到 $ 1, 7, 6, 4, 3 $，我们对这个数组进行新的差分得到 $ b_n‘ = { 1 6 -1 -2 -1 } $ ，我们比较新的差分数组 $ b_n‘ $ 与 $ b_n $，发现只有 $ b_2‘,b_5‘ $ 上的值变了，$ b_2‘ = b_2 + 2, b_5‘ = b_5 - 2 $，可以验证，在任何区间 $ a[l,...,r] $ 做出 $ +x $ 更新，都有 $ b_l‘ = b_l + x , b_{r + 1}‘ = b_{r + 1} - x $ 。并且不论任何数组经过这样操作都有这样的特点，于是就有了代码中的 `dif()` 函数对区间进行更新。这样每次更新只用更新位置 $ b_l, b_{r + 1} $ 上的值，效率提高了许多。

#include <bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define st first
#define nd second
#define rd third
#define rg register
#define FOR(i, a, b) for(int i =(a); i <=(b); ++i)
#define RE(i, n) FOR(i, 1, n)
#define FORD(i, a, b) for(int i = (a); i >= (b); --i)
#define REP(i, n) for(int i = 0;i <(n); ++i)
#define VAR(v, i) __typeof(i) v=(i)
#define FORE(i, c) for(VAR(i, (c).begin()); i != (c).end(); ++i)
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define SZ(x) ((int)(x).size())
using namespace std;

#define lowbit(x) ((x) & (-x))
const int N = 500010;
int id[N];
void upd(int n, int k, int x)
{
    while (k <= n) id[k] += x, k += lowbit(k);
}
void dif(int n, int l, int r, int x)
{
    upd(n, l, x);
    upd(n, r + 1, -x);
}
int sum(int k)
{
    int ans = 0;
    while (k > 0) ans += id[k], k -= lowbit(k);
    return ans;
}
int org(int k)
{
    return sum(k) - sum(k - 1);
}
int ask(int l, int r)
{
    return sum(r) - sum(l - 1);
}
int main()
{
    int n, m, k, x, opera, l, r, pre;
    pre = 0;
    cin >> n >> m;
    FOR (i, 1, n)
    {
        cin >> x;
        upd(n, i, x - pre); // 差分后更新到树状数组
        pre = x;
    }
    while(m--)
    {
        cin >> opera;
        switch(opera)
        {
            case 1: cin >> l >> r >> x; dif(n, l, r, x); break;
            case 2: cin >> k; cout << sum(k) << endl; break;
        }
    }
    return 0;
}