HDOJ 1025-1030

Posted 2021-01-07 monster5475

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很典型的小狗迷宫问题，很自然的想到用回溯算法，虽然我写出来了 但是hdoj过不了。是否可以思考用栈的形式来实现呢，还有一个问题是还可以用剪枝算法 剪掉一些不必要的路径。。这个我还在思考过程中。我代码的注释写的挺完整，虽然有点复杂。。

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我用的办法是一种土办法，当时直接感觉就是确定这个序列的前k个数那么剩下来的就是(n-k)!种方法，只要求得M<(n-k)!即可，然后再去确定M是在第几个(n-k-1)!中，依次类推直到全部确认完毕。但是一直ac不过。后来去百度了一下原来这种叫做字典序，有一个算法专门算这种的。。 网上也有用全排列解这道题的人，其原理应该是全排列的产生方法如果是交换的刚好是字典序的顺序。但是没过。。

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一开始想法是用类似递归，但发现找不出答案，后来网上看了相应知识，发现这道题目可以用动态规划来做，还有就是可以用母函数来思考，动态规划的话动态转移方程为f(n,m) 把整数 n 拆成最多 m 个数字
当n<m时 在这道题目中n>m 所以f(n,m) = f(n,n)；
当n==m时，两种情况，一种包含m，那么就是直接一种情况，1，另一种是不包含m，所以最大的数变成m-1，故f(n,m)=f(n,m-1)；
当n>m时，那么有两种方式：一种是包含m，那么f(n,m) = f(n-m,m) ,另一种情况时不包括，这种情况下f(n,m) = f(n,m-1)。
if(n<m) f(n,m) = f(n,n);
else if(n==m) f(n,m) = f(n,m-1)+1;
else if(n>m) f(n,m) = f(n-m,m) + f(n,m-1);
以上是动态规划思想
接下来是母函数的想法，用1可以组成任意的数，我们用x^n表示n个1，故n个1能表示的数集合为(1+x^1+x^2+...+x^n),同理n个2有(1+x^2+x^4+...+x^n)，n个3有(1+x^3+x^6+...+x^n)。所以将这些式子做乘法运算，当n接近于无穷大，可以得到任意一个数。(1+x^1+x^2+...+x^n)(1+x^2+x^4+...+x^n)(1+x^3+x^6+...+x^n)...(1+x^n)。我们称这种函数为生成函数(1+x^1+x^2+...+x^n)。
再举一个比较简单的母函数的例子 假设有一个 1d 2d 3d 4d的硬币。问能买哪些范围的东西，注意题设是每一种硬币只有一个。
那么我们可以得到这么一个母函数，对于1d来说(1+x^1)，2d (1+x^2), nd (1+x^n)
因此这个题目的解析为(1+x^1)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4) 得到的最高项系数为我们可以购买的最高的物品。(1可以看成X^0)
这道题目可以有很多种变形 ，比如 限制硬币的个数不再是一个， 而是number[i]
再者 比如这不是硬币，而是一个物品，物品的价值为value[i] 重量为w[i] 个数为number[i] 那么求重量为v的背包 最大价值。。那么就变成了背包问题，那么怎么解决了。 可以明显看到 x^n前面的系数都为1，假设我们设其为t ，定义*为系数t的相加，那么我们最后得到的最终多项式前面的系数是否为所选物品的t(重量/价值)之和呢？？思考。。

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这道题目找出所给数字中的主元素，就是说给出n个数，找出出现次数为(n+1)/2的那个数。这道题如果没有时间和空间的限制，要做还是蛮简单的，但如果要求空间复杂度为O(1),时间复杂度为O(n)。那就需要思考。。。。

从主元素的定义开始入手，假设给出的数中存在主元素x 那么也就是说存在(n+1)/2个x，剩下的数我们不管。那么我现在从这个数组合中拿出两个不同的数，有两种可能
1、拿出的数有一个为x ， 那么这时候原来的数变成了 n-2，x的个数变成了(n+1)/2-1。这时候可以发现x还是原来的主元素。所以我们可以一直重复如此的操作直到最后，奇数情况下，如果存在最后一个数就是原来的数组的主函数，但如果不存在最后一个数可能是A,B,C,D任意的数，因此还要扫描一遍原来的数组判断最后一个数的个数是否超过half，超过为主元素否则不是，如果是偶数个数，那么剩下两个的话，那么这两个数肯定是一样的，且为主元素，要不就不存在主元素了。
2、拿出的数不含有x，那么这个情况下x还是原来的主元素，而且更加“主”了。

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真的是。真的是。大水题，江湖魔术，戳破就不值钱了。 我一开始想的好复杂，是不是dp 是不是！！！然后发现好像有方便的解法，考虑正三角和倒三角，从顶点到三角的两个角需要走两步，到下面那个值要一步，然后一直想怎么把两个点用这种方式连接起来，觉得自己好像走在正确的道路上~~~然后自己爆炸了。。
后来网上一看，我马上就惊醒了。原来只要标成三个坐标就可以。。。 (在我的代码中)z 表示水平坐标，y表示从左上到右下这种长条的坐标 也就是说 1 3 4 8 9 15 16的y坐标都是1，同理x是从右上到左下。
然后你会发现 wocao ，刚好行走的路线 不就是一个坐标轴一个一个的走吗！！！所以只要求出对应(x，y，z) 做一个差的和就可以。 这道题目巧妙的重新定义了曼哈顿距离 也就是我们传统意义上的两点间的距离，值得思考。

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放张图，坚持 刚好放下一个屏幕！