触手不及（巴科斯范式求表达式树）

Posted 2021-01-07 zjp-shadow

本题为学军神犇 cxt 出的神题。

题意

为了避免流露出自己的感情伤害别人, 小 M.M.T. 决定通过一个表达式来传递心意.

给出一个等式.

等式左边是一个 (int) 范围内的数, 等式右边是一个合法的 c++ 表达式.

例如:(233 = 66 ? 4 ? 31)

保证等式右边只包含数字 (x (x ∈ [0, p),p) 是给定的质数()), 加号, 减号, 乘号, 除号, 左右括号.

保证等式中没有任何空格,tab 等不可见字符. 而且保证合法。

但是遗憾的是, 因为一些原因, 该等式不保证成立.

于是, 小 M.M.T. 希望知道, 在模 (p) 意义下, 她的表达式的每个数字 (x) ,需要变成多少才能使等式成立.

保证原不等式不存在除 (0), 你需要保证把数字变成 (x) 之后等式仍然不会除 (0).

如果无论 (x) 取多少都不能使等式成立, 则输出 (No~Solution) .

如果无论 (x) 取多少都能使等式成立, 则输出 (-1) .

(len,p le 5 imes 10^6)

题解

首先很显然的根据给出的中缀表达式来求出二叉表达式树，如何求呢？

其实可以直接递归模拟这个过程。

这就是著名的 BNF（巴科斯范式） ，一种用递归的思想来表述计算机语言符号集的定义规范。

以下函数的名称全部参考自 BNF 。

1. 首先最外面一层是由很多 (+,-) 号构成的优先级最低的符号，我们最外层处理这个，称为 (expr) （表达式）。
2. 然后会接下来会分成很多个子表达式，每个最终会代表成一个值，我们把处理这单独一串值称为 (term) （相）。
3. 每个 $term $ 是可能由 (0) 个，甚至多个 (* ,/) 连接一些数成的表达式，我们接下来就需要求那些数叫 (factor) （因子）
4. 然后 (factor) 就会分成两种情况，要么为单独一个数（求单个数的为 (digit) ），要么就是以括号开头，然后继续是一个完整的表达式 (expr) 。

就这样不断递归处理，就可以处理出这颗二叉树了。

说起来似乎很玄学，如果看过代码后，就应该会觉得很好理解了。

整体思路就是，(expr) 实际上就是很多 (term) 用 (+,-) 连接起来的表达式。同理 (term) 就是很多 (factor) 用 (*) 号连接起来的乘积，(factor) 要么是个 (digit) 要么是个用 (()) 包起来的 (expr) 。

然后处理出这颗表达式二叉树后，就很好做了，我们令 Dfs(o, val) 表示 (o) 这颗子树（表达式）需要满足等式成立需要的改变成 (val) 。

递归下去处理，每次用四则运算的逆运算实现就行了。（此处需要预处理每个子树本来代表的值）

注意，叶子就是最后的数字。

然后有几个特殊情况。

1. 当前区间运算为 (*) ，对于其中一颗子树来说，另一颗子树的值为 (0) ，有两种情况。
   • (val ot = 0) ，怎么改变都不能成立，那么那颗子树内所有点都为 (No~Solution) 。
   • (val = 0) ，怎么改变都可以成立，那么那颗子树内所有点都为 (-1) 。
2. 当前区间运算为 (/) ，有两种特殊情况。
   • (val = 0) 并且左儿子值 ( ot = 0) ，那么右儿子整个无解。
   • (val ot = 0) 并且左儿子值 (= 0) ，那么右儿子也是无解。

标程少判了最后一个情况，数据出锅了，差评。

代码

其实还是挺好 抄 写的。

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

using namespace std;

inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
    return x * fh;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
    freopen ("expression.in", "r", stdin);
    freopen ("expression.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 5e6 + 1e3, Maxn = N << 1;

int Mod, Inv[N]; char str[N];

#define ls(o) ch[o][0]
#define rs(o) ch[o][1]

inline int Add(int a, int b) { return (a += b) >= Mod ? a - Mod : a; }

namespace Expression {

    char *Head;

    int Size, ch[Maxn][2], val[Maxn], opt[Maxn];

    inline void Push_Up(int o) {
        if (opt[o] == 0) val[o] = Add(val[ls(o)], val[rs(o)]);
        if (opt[o] == 1) val[o] = Add(val[ls(o)], Mod - val[rs(o)]);
        if (opt[o] == 2) val[o] = 1ll * val[ls(o)] * val[rs(o)] % Mod;
        if (opt[o] == 3) val[o] = 1ll * val[ls(o)] * Inv[val[rs(o)]] % Mod;
    }

    inline int Digit();
    inline int Factor();
    inline int Term();
    inline int Expr();

    inline int Digit() {
        int res = 0;
        for (; isdigit(*Head); ++ Head) res = (res * 10) + (*Head ^ 48) ;
        return res;
    }

    inline int Factor() {
        int Node = 0;
        if (*Head == '(')
            ++ Head, Node = Expr(), ++ Head;
        else 
            val[Node = ++ Size] = Digit();
        return Node;
    }

    inline int Term() {
        int Last = Factor(), Node = Last;
        while (*Head == '*' || *Head == '/') {
            opt[Node = ++ Size] = 2 + (*Head ++ == '/');
            ls(Node) = Last; rs(Node) = Factor();
            Push_Up(Last = Node);
        }
        return Node;
    }

    inline int Expr() {
        int Last = Term(), Node = Last;
        while (*Head == '+' || *Head == '-') {
            opt[Node = ++ Size] = (*Head ++ == '-');
            ls(Node) = Last; rs(Node) = Term();
            Push_Up(Last = Node);
        }
        return Node;
    }

    void Print(int o, const char* ans) {
        if (!ls(o) && !rs(o)) 
            return (void) puts(ans);
        Print(ls(o), ans); Print(rs(o), ans);
    }

    void Dfs(int o, int Val) {
        if (!ls(o) && !rs(o))
            return (void) printf ("%d
", Val);
        if (opt[o] == 0) {
            Dfs(ls(o), Add(Val, Mod - val[rs(o)]));
            Dfs(rs(o), Add(Val, Mod - val[ls(o)]));
        }
        if (opt[o] == 1) {
            Dfs(ls(o), Add(Val, val[rs(o)]));
            Dfs(rs(o), Add(val[ls(o)], Mod - Val));
        }
        if (opt[o] == 2) {
            For (dir, 0, 1)
                if (val[ch[o][dir ^ 1]])
                    Dfs(ch[o][dir], 1ll * Val * Inv[val[ch[o][dir ^ 1]]] % Mod);
                else
                    Print(ch[o][dir], Val ? "No Solution" : "-1");
        }
        if (opt[o] == 3) {
            Dfs(ls(o), 1ll * Val * val[rs(o)] % Mod);
            if (Val && val[ls[o]]) 
                Dfs(rs(o), 1ll * val[ls(o)] * Inv[Val] % Mod);
            else 
                Print(rs(o), "No Solution");
        }
    }

    char Sign[4] = {'+', '-', '*', '/'};
    void Out(int o) {
        if (!o) return ;
        if (!ls(o) && !rs(o))
            return (void) printf (" %d ", val[o]);
        Out(ls(o));
        putchar (Sign[opt[o]]);
        Out(rs(o));
    }

};

void Solve() {
    using namespace Expression;
    Head = str;
    int Base = Digit() % Mod; ++ Head;
    int root = Expr();
    Dfs(root, Base);
}

int main () {

    File();

    read(); Mod = read(); scanf ("%s", str);

    Inv[0] = Inv[1] = 1;
    For (i, 2, Mod - 1) Inv[i] = 1ll * Inv[Mod % i] * (Mod - Mod / i) % Mod;
    Solve();

    return 0;
}