CodeForces - 813C The Tag Game（拉格朗日乘数法，限制条件求最值）

Posted 2021-01-06 czsharecode

【传送门】http://codeforces.com/problemset/problem/813/C

 

【题意】给定整数a,b,c,s，求使得  x^a y^b z^c值最大的实数 x,y,z ， 其中x + y + z <= s. (1?≤?S?≤?10³  , 0?≤?a,?b,?c?≤?10³)

 

【题解】设P（x,y,z ） = x^a y^b z^c，则P（x,y,z）是递增的，要使 函数值尽可能地大，那么必取 x + y + z = s

问题转化成：已知限定条件  x + y + z = s， 求P（x,y,z）取得最大值的（x,y,z）

显然，这是运用拉格朗日乘数法的模板题。

 

【拉格朗日乘数法】

解决的问题模型 ： 已知G（x,y,z） = 0

求F（x,y,z）最值（或者极值，一般情况下拉格朗日乘数法求得的极值点就是最值点）

设L（x,y,z） = F(x,y,z) + λG(x,y,z)

将L（x,y,z）分别对x,y,z求偏导，得到3个四元一次方程，加上原来的一个限定条件G（x,y,z） = 0，共得到4个方程，解4个未知数（x,y,z,λ）

求出极值点（x, y , z）即可。

最值只可能在边界处或者极值点处取到，一般情况下极值点就是最值点。

 

【回到本题】令G（x,y,z） = x + y + z - s , F(x,y,z) = alnx + blny + clnz  .用上述方法解出极值点（s*a/(a+b+c) , s*b/(a+b+c), s*c/(a+b+c)）这就是所求答案。

注意a + b + c = 0的特判情况，还需要注意精度，题目要求1e-6，但是精度要达到1e-10以上才行，不然会WA，有点坑。

 

【AC代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iomanip>
using namespace std;
typedef long long ll;

double s;
double a,b,c;

int main(){
    while(cin>>s){
        cin>>a>>b>>c;
        if(a + b + c == 0){
            cout<<1.0*s<<" "<<0<<" "<<0<<endl;
            continue;
        }
        cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(18)<<s/(a+b+c)*a<<" "<<s/(a+b+c)*b<<" "<<s/(a+b+c)*c<<endl;
    }
}