数论排列组合问题

Posted 2021-01-06 brokenstring

排列

定义：

从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示

公式：

A(n,m)=n(n-1）*（n-2）*……*（n-m+1）= n!/(n-m)!

PS：此外规定0!=1

特殊排列：

• 不全相异元素的排列：

在n个元素中 n₁个元素彼此相同 有n₂个元素彼此相同......有n_m个元素彼此相同 并且n₁+n₂+...+n_m=n

其排列数公式为：n!/(n₁!*n₂!*...*n_m!)

【引例】把3个相同的黄球 2个相同的蓝球 4个相同的白球排成一排 有(3+2+4)!/(3!*2!*4!)=1260

• 圆排列

从n个数中取m个 不分首尾地排成一个圆圈的排列叫做圆排列 方案数为A(n,m)/m=n!/(m*(n-m)!)

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组合

定义：

从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示

公式：

C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(m!(n-m)!) 因为多出了一个全排列需要删去

可重复组合：从n个元素中 取出r个元素组成一个组合 且允许这r个重复使用 记为H(n,r)=C(n+r-1,r)

性质：

1. C(n,m)=C(n,n-m） 规定：C(n,0)=C(n,n)=1
2. C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m-1) 杨辉三角递推

二项式定理：

(a+b)ⁿ=Σⁿ_i=0C(n,i)a^(n-i)bⁱ

二项式系数：C(n,i) 运用杨辉三角

【例题】洛谷P1313 [NOIP2011TG]计算系数:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1313

题解链接：