[SDOI2011]消防

Posted 2021-01-06 zh-comld

某个国家有n个城市，这n个城市中任意两个都连通且有唯一一条路径，每条连通两个城市的道路的长度为zi(zi<=1000)。

这个国家的人对火焰有超越宇宙的热情，所以这个国家最兴旺的行业是消防业。由于政府对国民的热情忍无可忍（大量的消防经费开销）可是却又无可奈何（总统竞选的国民支持率），所以只能想尽方法提高消防能力。

现在这个国家的经费足以在一条边长度和不超过s的路径（两端都是城市）上建立消防枢纽，为了尽量提高枢纽的利用率，要求其他所有城市到这条路径的距离的最大值最小。

你受命监管这个项目，你当然需要知道应该把枢纽建立在什么位置上。

Solution

这题非常神，神在它有一堆解法。

首先考虑无脑暴力，枚举一个起点，一个终点，O(n)算出最长距离，更新答案，复杂度O(n^3)。

然后根据贪心的想法，我们选择的链一定在树的直径上。

设直径端点为s和t

我们可以扫描直径上的每个点，对于每个点确定唯一的最远距离，在DFS一遍更新答案，复杂度O(n^2)。

然后发现答案具有单调性，可以二分一个答案，在直径两端贪心的找出能达到的不超过答案的最远点，DFS一遍检查合法性，复杂度O(nlogn)

继续观察我们可以发现，对于直径上的一个点i，我们要确定一个j使得max(dis(s,i),dis(j,t),sigma(d[k]))最小

d[k]表示从k点出发不经过直径上任何一个点能达到的最远距离,预处理可以得到。

于是O(n)的做法就出现了。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define N 300002
using namespace std;
queue<int>q;
bool vis[N];
int dis[N],tot,head[N],l1[N],nex[N],num,id,id2,s,n,ans,di,dis1[N],dis2[N],pre[N],l2[N];
struct zzh{
    int n,to,l;
}e[N<<1];
inline void add(int u,int v,int l){
  e[++tot].n=head[u];
  e[tot].to=v;
  head[u]=tot;
  e[tot].l=l;
} 
void dfs(int u,int fa){
    for(int i=head[u];i;i=e[i].n)if(e[i].to!=fa){
        int v=e[i].to;    
        dfs(v,u);
        if(!vis[v])dis[u]=max(dis[u],dis[v]+e[i].l);
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&s);int u,v,w,an=0;
    for(int i=1;i<n;++i)scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),add(u,v,w),add(v,u,w);
    q.push(1);vis[1]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=e[i].n)if(!vis[e[i].to]){
            int v=e[i].to;
            dis[v]=dis[u]+e[i].l;
            vis[v]=1;
            q.push(v);
            }
        }
    for(int i=1;i<=n;++i)if(dis[i]>an){
       id=i;
       an=dis[i];
   }
   an=0;memset(dis,0,sizeof(dis));memset(vis,0,sizeof(vis));
    q.push(id);vis[id]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=e[i].n)if(!vis[e[i].to]){
            int v=e[i].to;
            dis[v]=dis[u]+e[i].l;
            pre[v]=u;
            l2[v]=e[i].l;
            vis[v]=1;
            q.push(v);
            }
        }
    for(int i=1;i<=n;++i)if(dis[i]>an){
        an=dis[i];
        id2=i;
    }
    memset(dis,0,sizeof(dis));memset(vis,0,sizeof(vis));
    ans=0x3f3f3f3f;
    for(int i=id2;i!=id;i=pre[i])l1[pre[i]]=l2[i],nex[pre[i]]=i;
    for(int i=id;i!=id2;i=nex[i])vis[i]=1,dis1[i]=di,di+=l1[i];vis[id2]=1;dis1[id2]=di;
    for(int i=id;i!=id2;i=nex[i])dis2[i]=di-dis1[i]; dis2[id2]=di-dis1[id2];
    dfs(id,0);int diss=id;
    for(int i=id;i;i=nex[i]){
        while(dis1[diss]-dis1[i]+l1[diss]<=s&&diss!=id2)diss=nex[diss]; 
    //    cout<<i<<" qwq"<<diss<<" "<<dis1[i]<<" "<<dis2[diss]<<endl;
        ans=min(ans,max(dis1[i],dis2[diss]));
        if(diss==i)diss=nex[diss];
        if(i==id2)break;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)if(vis[i])ans=max(ans,dis[i]);
    cout<<ans;
    return 0;
}