最大公约数

Posted 2021-01-06 actarjan

两个数x，y的最大公约数记为gcd（x，y）

两个数x，y的最小公倍数记为lcm（x，y）

则有：gcd（x，y）*lcm（x，y）=x*y

求解最大公约数的方法：

1、辗转相减法:(又称更相减损术)

当求大数的最大公约数时，以较大的数减去减小的数，接着把所得的差与较小的数比较，再以大数减小数，重复这个步骤，直到两个数相等为止，这个数就是最大公约数。

公式：gcd（x，y）=gcd（x-y，y）（x>=y）

2、快速gcd（辗转相减法的优化）

(1)若x,y相等：gcd(x,y)=x

(2)若x为偶数，y为奇数:gcd(x,y)=gcd(x/2,y)

(3)若x为奇数，y为偶数:gcd(x,y)=gcd(x,y/2)

(4)若x,y都是偶数：gcd(x,y)=2*gcd(x/2,y/2)

(5)若x,y都是奇数：gcd(x,y)=gcd(x-y,y)(x>=y)

C++代码实现：

typedef long long int ll;
ll gcd(ll x,ll y)
{
    if(x==y)
        return x;
    bool fgx=(x&1);
    bool fgy=(y&1);
    if(fgx&&fgy)
    {
        if(x>y)
        return gcd(x-y,y);
    else
        return gcd(y-x,x);
    }
    if(!fgx&&!fgy)
        return 2*gcd(x>>1,y>>1);
    if(!fgx&&fgy)
        return gcd(x>>1,y);
    if(fgx&&!fgy)
        return gcd(x,y>>1);
}

3、辗转相除法（又称欧几里得算法）

公式：

gcd（x，y）=gcd（y，x%y）

gcd（x，0）=x

C++代码实现：

typedef long long int ll;
ll gcd(ll x,ll y)
{
    if(y==0)
        return x;
    return gcd(y,x%y);
}

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