背包问题专栏(01,完全,多重)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了背包问题专栏(01,完全,多重)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

本题的模板是套用了

A.S.KirigiriKyouko

的模板。请dalao见谅

一、01背包

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的价格(即体积,下同)是w[i],价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

这是最基础的背包问题,总的来说就是:选还是不选,这是个问题<( ̄ˇ ̄)/

相当于用f[i][j]表示前i个背包装入容量为v的背包中所可以获得的最大价值。

对于一个物品,只有两种情况

  情况一: 第i件不放进去,这时所得价值为:f[i-1][v]

  情况二: 第i件放进去,这时所得价值为:f[i-1][v-c[i]]+w[i] 

状态转移方程为:f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+c[i])

一道裸01背包题↓_↓

采药

题目描述 Description

辰辰是个天资聪颖的孩子,他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此,他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质,给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说:“孩子,这个山洞里有一些不同的草药,采每一株都需要一些时间,每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间,在这段时间里,你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子,你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 

如果你是辰辰,你能完成这个任务吗?

输入描述 Input Description

输入第一行有两个整数T(1<=T<=1000)和M(1<=M<=100),用一个空格隔开,T代表总共能够用来采药的时间,M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间(包括1和100)的整数,分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出描述 Output Description

输出包括一行,这一行只包含一个整数,表示在规定的时间内,可以采到的草药的最大总价值。

样例输入 Sample Input

70 3

71 100

69 1

1 2

样例输出 Sample Output

3

数据范围及提示 Data Size & Hint

【数据规模】

对于30%的数据,M<=10;

对于全部的数据,M<=100。

//01背包问题 (采药)
//by Crazily
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int w[105],v[105];
int dp[105][1005];
int main(){
    int t,m;
    scanf("%d%d",&t,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++) 
        for(int j=t;j>=0;j--){
            if(j>=w[i]){
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i],dp[i-1][j]);
            }  
            else{
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }              
        }
    printf("%d",dp[m][t]);
}

再上一维的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxm = 2001, maxn = 101;
int m, n;
int w[maxn], c[maxn];
int f[maxm]; 
int main(){
    scanf("%d%d",&m, &n);            //背包容量m和物品数量n
    for (int i=1; i <= n; i++)
        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);     //每个物品的重量和价值
    for (int i=1; i <= n; i++)             //设f(v)表示重量不超过v公斤的最大价值
        for (int v = m; v >= w[i]; v--)  //注意是逆序
            f[v] = max(f[v-w[i]]+c[i], f[v]);
    printf("%d
",f[m]);                      // f(m)为最优解
    return 0;
}

二、完全背包

有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是w[i],价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

完全背包和01背包十分相像, 区别就是完全背包物品有无限件。由之前的选或者不选转变成了选或者不选,选几件。√

和01背包一样,我们可以写出状态转移方程:f[i][v]=max(f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v)

还有一个简单的优化↓_↓

当一个物品的价值小于另一个物品的价值,但是价格高于另一个物品,我们就可以不去考虑这个物品。即若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j],则将物品j去掉,不用考虑。我们为什么要买一个又贵又难吃的东西呢(╯▽╰)

#include <iostream>
#define V 500
using namespace std;
int weight[20 + 1];
int value[20 + 1];
int f[V + 1];
int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}
int main() {
    int n, m;
    cin >> n; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }
    cin >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = weight[i]; j <= m; j++) {
            f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout<< f[m] << endl;
}

三、多重背包

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是w[i],价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

这里又多了一个限制条件,每个物品规定了可用的次数。

同理,我们可以得出状态转移方程:f[i][v]=max(f[i-1][v-k*w[i]]+ k*c[i]|0<=k<=n[i])

一道例题↓_↓

庆功会

【问题描述】

为了庆贺班级在校运动会上取得全校第一名成绩,班主任决定开一场庆功会,为此拨款购买奖品犒劳运动员。期望拨款金额能购买最大价值的奖品,可以补充他们的精力和体力。

【输入格式】

第一行二个数n(n<=500),m(m<=6000),其中n代表希望购买的奖品的种数,m表示拨款金额。 接下来n行,每行3个数,v、w、s,分别表示第I种奖品的价格、价值(价格与价值是不同的概念)和购买的数量(买0件到s件均可),其中v<=100,w<=1000,s<=10。

【输出格式】

第一行:一个数,表示此次购买能获得的最大的价值(注意!不是价格)。

【输入样例】

5 1000

80 20 4

40 50 9

30 50 7

40 30 6

20 20 1

【输出样例】

1040

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int v[6002], w[6002], s[6002];
int f[6002];
int n, m;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
       for (int j = m; j >= 0; j--)
          for (int k = 0; k <= s[i]; k++)
          {
               if (j-k*v[i]<0) break;
               f[j] = max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
          }
    printf("%d
",f[m]);
    return 0;
} 
//这是未优化的

再用二进制优化转换成01

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int v[10001],w[10001];
int f[6001];
int n,m,n1;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y,s,t=1;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&s);
        while (s>=t) 
        {
            v[++n1]=x*t;
            w[n1]=y*t;
            s-=t;
            t*=2;
        }
        v[++n1]=x*s;
        w[n1]=y*s;                             //把s以2的指数分堆:1,2,4,…,2^(k-1),s-2^k+1,
    }
for(int i=1;i<=n1;i++)
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
           f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); 
    printf("%d
",f[m]);
    return 0;
}

//先借用一下dalao的代码,有空我会慢慢码上的

 

以上是关于背包问题专栏(01,完全,多重)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

01背包完全背包多重背包分组背包总结

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