BP算法详解

Posted 2021-01-06 duanhx

说到神经网络，大家看到这个图应该不陌生：

       这是典型的三层神经网络的基本构成，Layer L1是输入层，Layer L2是隐含层，Layer L3是隐含层，我们现在手里有一堆数据{x1,x2,x3,…,xn},输出也是一堆数据{y1,y2,y3,…,yn},现在要他们在隐含层做某种变换，让你把数据灌进去后得到你期望的输出。如果你希望你的输出和原始输入一样，那么就是最常见的自编码模型（Auto-Encoder）。可能有人会问，为什么要输入输出都一样呢？有什么用啊？其实应用挺广的，在图像识别，文本分类等等都会用到。如果你的输出和原始输入不一样，那么就是很常见的人工神经网络了，相当于让原始数据通过一个映射来得到我们想要的输出数据，也就是我们今天要讲的话题。

　　本文直接举一个例子，带入数值演示反向传播法的过程，其实也很简单，感兴趣的同学可以自己推导下试试：）（注：本文假设你已经懂得基本的神经网络构成，如果完全不懂，可以参考Poll写的笔记：[Mechine Learning & Algorithm] 神经网络基础）

　　假设，你有这样一个网络层：

　　第一层是输入层，包含两个神经元i1，i2，和截距项b1；第二层是隐含层，包含两个神经元h1,h2和截距项b2，第三层是输出o1,o2，每条线上标的wi是层与层之间连接的权重，激活函数我们默认为sigmoid函数。

　　现在对他们赋上初值，如下图：

　　其中，输入数据  i1=0.05，i2=0.10;

　　　　　输出数据 o1=0.01,o2=0.99;

　　　　　初始权重  w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;

　　　　　　　　　  w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55

       目标：给出输入数据i1,i2(0.05和0.10)，使输出尽可能与原始输出o1,o2(0.01和0.99)接近。

Step 1 前向传播

　　1.输入层—->隐含层：

　　计算神经元h1的输入加权和：

       神经元h1的输出o1:(此处用到激活函数为sigmoid函数)：

     同理，可计算出神经元h2的输出o2：

　　

　2.隐含层—->输出层：

　　计算输出层神经元o1和o2的值：　

       这样前向传播的过程就结束了，我们得到输出值为[0.75136079 , 0.772928465]，与实际值[0.01 , 0.99]相差还很远，现在我们对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。

Step 2 反向传播

1.计算总误差

       总误差：(square error)

       但是有两个输出，所以分别计算o1和o2的误差，总误差为两者之和：

      

 

 

 

2.隐含层—->输出层的权值更新：

       以权重参数w5为例，如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响，可以用整体误差对w5求偏导求出：（链式法则）

       下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的：

      现在我们来分别计算每个式子的值：

     计算：

       计算：

（这一步实际上就是对sigmoid函数求导，比较简单，可以自己推导一下）

        计算：

        最后三者相乘：

       这样我们就计算出整体误差E(total)对w5的偏导值。

      回过头来再看看上面的公式，我们发现：

      为了表达方便，用来表示输出层的误差：

     因此，整体误差E(total)对w5的偏导公式可以写成：

     如果输出层误差计为负的话，也可以写成：

     最后我们来更新w5的值：

（其中，是学习速率，这里我们取0.5）

同理，可更新w6,w7,w8:

3.隐含层—->隐含层的权值更新：

　    方法其实与上面说的差不多，但是有个地方需要变一下，在上文计算总误差对w5的偏导时，是从out(o1)—->net(o1)—->w5,但是在隐含层之间的权值更新时，是out(h1)—->net(h1)—->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差，所以这个地方两个都要计算。

 

      计算：

       先计算：

同理，计算出：

　　　　　　　　　　

两者相加得到总值：

再计算：

再计算：

最后，三者相乘：

 为了简化公式，用sigma(h1)表示隐含层单元h1的误差：

最后，更新w1的权值：

同理，额可更新w2,w3,w4的权值：

       这样误差反向传播法就完成了，最后我们再把更新的权值重新计算，不停地迭代，在这个例子中第一次迭代之后，总误差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。迭代10000次后，总误差为0.000035085，输出为[0.015912196,0.984065734](原输入为[0.01,0.99]),证明效果还是不错的。

BP算法改进

BP算法易形成局部极小而得不到全局最优，训练次数多使得学习效率低，存在收敛速度慢等问题。

       传统的BP算法改进主要有两类：

                 启发式算法：如附加动量法，自适应算法。

                 数值优化算法：如共轭梯度法、牛顿迭代法等。

1,附加动量项

       这是一种广泛用于加速梯度下降法收敛的优化方法。附加动量法面临学习率的选取的困难，进而产生收敛速度与收敛性之间的矛盾。

       核心思想：在梯度下降搜索时，若当前梯度下降与之前梯度下降方向相同，则加速搜索，反之则减速搜索。

       标准BP算法的参数更新项为：

                               ?ω(t)= ηg(t)

       式中，?ω(t)为第t次迭代的参数调整量，η为学习率，g(t)为第t次迭代所计算出的梯度。

       添加动量项之后，基于梯度下降的参数更新为：

                             ?ωt= ηgt+α?ωt-1

       式中α被称为动量系数，一般α∈(0,1)，α?ω(t-1)代表之前梯度下降的方向和大小信息对当前梯度下降的调整作用。

2,自适应学习率

      核心思想：自适应改变学习率，使其根据环境变化增大或减小。

              ηt=σ(t)η(t-1)

     上式中，σ(t)为第 t 次迭代时的自适应学习速率因子。

3,引入陡度因子

     核心思想：如果在调整进入平坦区后，设法压缩神经元的净输入，使其输出退出激活函数的不饱和区，就可以改变误差函数的形状，从而使调整脱离平坦区。

在原激活函数中引入一个陡度因子λ

                                                        

  1  #coding:utf-8
  2    import random
  3    import math
  4    
  5   #
  6   #   参数解释：
  7   #   "pd_" ：偏导的前缀
  8   #   "d_" ：导数的前缀
  9   #   "w_ho" ：隐含层到输出层的权重系数索引
 10   #   "w_ih" ：输入层到隐含层的权重系数的索引
 11   
 12   class NeuralNetwork:
 13       LEARNING_RATE = 0.5
 14   
 15       def __init__(self, num_inputs, num_hidden, num_outputs, hidden_layer_weights =None,hidden_layer_bias = None, output_layer_weights = None, output_layer_bias = None):
 16           self.num_inputs = num_inputs
 17  
 18           self.hidden_layer = NeuronLayer(num_hidden, hidden_layer_bias)
 19           self.output_layer = NeuronLayer(num_outputs, output_layer_bias)
 20   
 21           self.init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(hidden_layer_weights)
 22           self.init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(output_layer_weights)
 23   
 24       def init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(self, hidden_layer_weights):
 25           weight_num = 0
 26           for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
 27               for i in range(self.num_inputs):
 28                   if not hidden_layer_weights:
 29                       self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(random.random())
 30                   else:
 31                       self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(hidden_layer_weights[weight_num])
 32                   weight_num += 1
 33   
 34       def init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(self, output_layer_weights):
 35           weight_num = 0
 36           for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
 37               for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
 38                   if not output_layer_weights:
 39                       self.output_layer.neurons[o].weights.append(random.random())
 40                   else:
 41                       self.output_layer.neurons[o].weights.append(output_layer_weights[weight_num])
 42                   weight_num += 1
 43   
 44       def inspect(self):
 45           print(‘------‘)
 46           print(‘* Inputs: {}‘.format(self.num_inputs))
 47           print(‘------‘)
 48           print(‘Hidden Layer‘)
 49           self.hidden_layer.inspect()
 50           print(‘------‘)
 51           print(‘* Output Layer‘)
 52           self.output_layer.inspect()
 53           print(‘------‘)
 54   
 55       def feed_forward(self, inputs):
 56           hidden_layer_outputs = self.hidden_layer.feed_forward(inputs)
 57           return self.output_layer.feed_forward(hidden_layer_outputs)
 58  
 59       def train(self, training_inputs, training_outputs):
 60           self.feed_forward(training_inputs)
 61   
 62           # 1. 输出神经元的值
 63           pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input = [0] * len(self.output_layer.neurons)
 64           for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
 65   
 66               # ?E/?z?
 67               pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] = self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_error_wrt_total_net_input(training_outputs[o])
 68   
 69           # 2. 隐含层神经元的值
 70           pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input = [0] * len(self.hidden_layer.neurons)
 71         for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
 72   
 73               # dE/dy? = Σ ?E/?z? * ?z/?y? = Σ ?E/?z? * w??
 74               d_error_wrt_hidden_neuron_output = 0
 75               for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
 76                   d_error_wrt_hidden_neuron_output += pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].weights[h]
 77   
 78               # ?E/?z? = dE/dy? * ?z?/?
 79               pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] = d_error_wrt_hidden_neuron_output * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_input()
 80   
 81           # 3. 更新输出层权重系数
 82          for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
 83              for w_ho in range(len(self.output_layer.neurons[o].weights)):
 84   
 85                   # ?E?/?w?? = ?E/?z? * ?z?/?w??
 86                   pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ho)
 87  
 88                   # Δw = α * ?E?/?w?
 89                   self.output_layer.neurons[o].weights[w_ho] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight
 90  
 91          # 4. 更新隐含层的权重系数
 92           for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
 93               for w_ih in range(len(self.hidden_layer.neurons[h].weights)):
 94   
 95                   # ?E?/?w? = ?E/?z? * ?z?/?w?
 96                   pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ih)
 97   
 98                   # Δw = α * ?E?/?w?
 99                   self.hidden_layer.neurons[h].weights[w_ih] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight
100  
101      def calculate_total_error(self, training_sets):
102          total_error = 0
103          for t in range(len(training_sets)):
104              training_inputs, training_outputs = training_sets[t]
105              self.feed_forward(training_inputs)
106              for o in range(len(training_outputs)):
107                  total_error += self.output_layer.neurons[o].calculate_error(training_outputs[o])
108          return total_error
109  
110  class NeuronLayer:
111      def __init__(self, num_neurons, bias):
112  
113          # 同一层的神经元共享一个截距项b
114          self.bias = bias if bias else random.random()
115  
116          self.neurons = []
117          for i in range(num_neurons):
118              self.neurons.append(Neuron(self.bias))
119  
120      def inspect(self):
121          print(‘Neurons:‘, len(self.neurons))
122          for n in range(len(self.neurons)):
123              print(‘ Neuron‘, n)
124              for w in range(len(self.neurons[n].weights)):
125                  print(‘  Weight:‘, self.neurons[n].weights[w])
126              print(‘  Bias:‘, self.bias)
127  
128      def feed_forward(self, inputs):
129          outputs = []
130          for neuron in self.neurons:
131              outputs.append(neuron.calculate_output(inputs))
132          return outputs
133  
134      def get_outputs(self):
135          outputs = []
136          for neuron in self.neurons:
137              outputs.append(neuron.output)
138          return outputs
139  
140  class Neuron:
141      def __init__(self, bias):
142          self.bias = bias
143          self.weights = []
144  
145      def calculate_output(self, inputs):
146          self.inputs = inputs
147          self.output = self.squash(self.calculate_total_net_input())
148         return self.output
149  
150      def calculate_total_net_input(self):
151          total = 0
152          for i in range(len(self.inputs)):
153              total += self.inputs[i] * self.weights[i]
154          return total + self.bias
155  
156      # 激活函数sigmoid
157      def squash(self, total_net_input):
158          return 1 / (1 + math.exp(-total_net_input))
159  
160  
161      def calculate_pd_error_wrt_total_net_input(self, target_output):
162          return self.calculate_pd_error_wrt_output(target_output) * self.calculate_pd_total_net_input_wrt_input();
163  
164      # 每一个神经元的误差是由平方差公式计算的
165      def calculate_error(self, target_output):
166          return 0.5 * (target_output - self.output) ** 2
167  
168      
169      def calculate_pd_error_wrt_output(self, target_output):
170          return -(target_output - self.output)
171  
172      
173      def calculate_pd_total_net_input_wrt_input(self):
174          return self.output * (1 - self.output)
175  
176  
177      def calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(self, index):
178          return self.inputs[index]
179  
180  
181  # 文中的例子:
182  
183 nn = NeuralNetwork(2, 2, 2, hidden_layer_weights=[0.15, 0.2, 0.25, 0.3],hidden_layer_bias=0.35, output_layer_weights=[0.4, 0.45, 0.5, 0.55],output_layer_bias=0.6)
184   for i in range(10000):
185      nn.train([0.05, 0.1], [0.01, 0.09])
186      print(i, round(nn.calculate_total_error([[[0.05, 0.1], [0.01, 0.09]]]), 9))
187  
188  #另外一个例子，可以把上面的例子注释掉再运行一下:
189  
190  # training_sets = [
191  #     [[0, 0], [0]],
192  #     [[0, 1], [1]],
193  #     [[1, 0], [1]],
194  #     [[1, 1], [0]]
195  # ]
196  
197  # nn = NeuralNetwork(len(training_sets[0][0]), 5, len(training_sets[0][1]))
198  # for i in range(10000):
199  #     training_inputs, training_outputs = random.choice(training_sets)
200  #     nn.train(training_inputs, training_outputs)
201  #     print(i, nn.calculate_total_error(training_sets))