题解POJ1845 Sumdiv（乘法逆元+约数和）

Posted 2021-01-06 brokenstring

POJ1845：http://poj.org/problem?id=1845

思路：

A^B可以表示成多个质数的幂相乘的形式：A^B=（a₁ⁿ¹）*(a₂ⁿ²)* ...*(a_m^nm)

根据算数基本定理可以得约数之和sum=(1+a₁+a_1²+...+a_1ⁿ¹)*(1+a₂+a_2²+...+a_2ⁿ²)*...*(1+a_m+a_m²+...+a_m^nm) mod 9901

对于每个(1+a_i+a_i²+...+a_iⁿⁱ) mod 9901=（a_{i⁽ⁿⁱ⁺¹⁾}-1)/(a_i-1) mod 9901 （等比数列前n项目和）分母可用快速幂算出

因为9901是质数，只要a_i-1不是9901的倍数就只要计算a_i-1的乘法逆元inv（用费马小定理），再乘（a_{i⁽ⁿⁱ⁺¹⁾}-1) 直接算出ans

PS：若a_i-1是9901的倍数 此时乘法逆元不存在 但是a_i mod 9901=1 所以1+a_i+a_i²+...+a_iⁿⁱ=1+1+...+1=n_i+1

代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define mod 9901
int a,b,m,ans=1;
int p[20],c[20];//p是质数 c是指数 
void divide(int n)
{
    m=0;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            p[++m]=i;
            c[m]=0;
            while(n%i==0)
            {
                n/=i;
                c[m]++;
            }
        }
    }
    if(n>1)
    {
        p[++m]=n;
        c[m]=1;
    }
}
int quickpow(int a,long long b)
{
    int c=1;
    for(;b;b>>=1)
    {
        if(b&1)
        c=(long long)c*a%mod;
        a=(long long)a*a%mod;
    }
    return c;
}
int main()
{
    cin>>a>>b;    
    divide(a);//分解A的质因数 b到后面在乘上 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {     
        if((p[i]-1)%mod==0)//特判当ai-1是9901的倍数 乘法逆元不存在 
        {
            ans=((long long)b*c[i]+1)%mod*ans%mod; 
            continue;
        }        
        int x=quickpow(p[i],(long long)b*c[i]+1);//快速幂求分母                    
        x=(x-1+mod)%mod;
        int y=p[i]-1;
        y=quickpow(y,mod-2);//根据费马小定理求乘法逆元 
        ans=(long long)ans*x%mod*y%mod;
    }
    cout<<ans;
}

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