容斥原理

Posted 2021-01-06 actarjan

对于两个集合A、B

A ∪ B=A+B - A∩B

对于三个集合A、B、C

A∪B∪C=A+B+C -（A∩B+A∩C+B∩C）+A∩B∩C

用维恩图表示：

 

对于四个集合A、B、C、D

A∪B∪C∪D = A+B+C+D - (A∩B+B∩C+C∩D+A∩C+A∩D+B∩D)+(A∩B∩C+A∩B∩D+B∩C∩D)﹣A∩B∩C∩D

猜想：对于n个集合a1、a2、a3……an

a1∪a2∪a3∪……∪an=∑（选一个集合相交）-∑（选2个集合相交）+……+(-1)^n-1∑ (选n个集合相交）=∑( (-1)^i-1∑ (选i个集合相交) |1<=1<=n）

证明：（不会，自行百度）

题目：

1、牛客小白赛5：A题无关

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/135/A

题意：给一个质数集合A，求区间[L,R]中不能被集合A中任意一个数整除的数的个数

 

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define infy 0x3f3f3f3f
 4 #define lowbit(x) (x&(-x))
 5 #define e exp(1)
 6 #define pi acos(-1)
 7 typedef unsigned long long int ull;
 8 ull l,r;
 9 int k,p[25];
10 ull solve(ull x)
11 {
12     ull ans1=0,temp=1,ans2=0;
13     int num=0;
14     for(int i=1;i<(1<<k);i++)
15     {
16         num=0,temp=1;
17         for(int j=1;j<=k;j++)
18             if(i&(1<<(j-1)))
19         {
20             num++;
21             temp*=p[j];
22             if(temp>x||temp<0)
23                 temp=0;
24         }
25         if(temp&&(num&1))
26         ans1+=x/temp;
27         else
28             if(temp)
29             ans2+=x/temp;
30     }
31     return x-(ans1-ans2);
32 }
33 int main()
34 {
35     cin.sync_with_stdio(false);
36     cin.tie(0);
37     cout.tie(0);
38     cin>>l>>r>>k;
39     for(int i=1;i<=k;i++)
40         cin>>p[i];
41     ull ans=solve(r)-solve(l-1);
42     cout<<ans<<endl;
43     return 0;
44 }

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