Matrix Power Series

Posted 2021-01-06 qswx

Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A2 + A3 + … + Ak.

Analysis

一道矩阵背景下的简单sumdiv，同样是两种算法。

• 等比数列

ans=A^ k+1 / A-1

好像很简单，但是要用到矩阵除法，即矩阵逆元，我目前不会..

• 拆分子问题

当k为偶数时，原式就等于(A^ k/2 +1)(A1+A2+...+A^k/2)，这样就拆分出了子问题，可以用快速幂解决，至于奇数..把最后一个拎出来就行。

Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
const int N=110;
int n,MOD;
class Matrix{
    private:
        int h,s[N][N];
        void clear(){
            h=0;
            memset(s,0,sizeof(s));
        }
    public:
        Matrix operator + (Matrix x){
            Matrix y;
            y.clear();
            y.h=h;
            for(int i=0;i<h;i++)
                for(int j=0;j<h;j++)
                    y.s[i][j]=(s[i][j]+x.s[i][j])%MOD;
            return y;
        }
        Matrix operator * (Matrix x){
            Matrix y;
            y.clear();
            y.h=h;
            for(int i=0;i<h;i++)
                for(int j=0;j<h;j++)
                    for(int k=0;k<h;k++)
                        y.s[i][j]=(y.s[i][j]+s[i][k]*x.s[k][j])%MOD;
            return y;
        }
        Matrix operator *= (Matrix x){
            return *this=*this*x;
        }
        void Init(int x){
            clear();
            h=x;
            for(int i=0;i<h;i++)
                for(int j=0;j<h;j++)
                    scanf("%d",&s[i][j]);
        }
        void Enit(int x){
            clear();
            h=x;
            for(int i=0;i<x;i++)
                s[i][i]=1;
        }
        void Output(){
            for(int i=0;i<h;i++){
                for(int j=0;j<h;j++)
                    printf("%d ",s[i][j]);
                puts("");
            }
        }
}A,E,ans;
Matrix Fp(int k){
    Matrix x,y;
    x.Enit(n);
    y=A;
    while(k){
        if(k&1)x*=y;
        k>>=1;
        y*=y;
    }
    return x;
}
void Dc(int k){
    if(k==1)ans=A;
    else{
        Dc(k/2);
        ans*=Fp(k/2)+E;
        ans=k&1?ans+Fp(k):ans;
    }
}
int main(){
    int k;scanf("%d%d%d",&n,&k,&MOD);
    A.Init(n),E.Enit(n);
    Dc(k);
    ans.Output();
    return 0;
}