[51Nod1446] 限制价值树 (容斥+MT定理+折半搜索)

Posted 2021-01-05 menteur-hxy

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Description

有N个点（N<=40）标记为0,1,2，...N-1,每个点i有个价值val[i],如果val[i]=-1那么这个点被定义为bad，否则如果val[i] >=0那么这个点为定义为good。现在给这N个点间连上N-1条边，使它们构成一个生成树，定义树中的点为great点当且仅当这个点本身是good点且与其相邻的点中至少有另一个good点。树的价值等于树中所有great点的价值和。定义限制价值树是指价值不大于maxVal的树，问对给定的val[]与maxVal，一共有多少种不同的限制价格树？由于答案太大，可取
modulo 1,000,000,007后的结果。

说明：两棵树是不同的，指两棵树的边集不同，注意这里的边都是无向边。

Input

多组测试数据，第一行一个整数T，表示测试数据数量，1<=T<=5
每组测试数据有相同的结构构成：
每组数据第一行两个整数N与maxVal,满足1<=N<=40，0<=maxVal<=1,000,000,000。
第二行有N个整数，即val[0] ~ val[N-1]的数值，满足-1<=val[i]<=25,000,000。

Output

每组数据一行输出，即限制价格树的个数。

Sample Input

3
4 3
1 2 -1 3
4 5
1 2 -1 3
5 6
-1 -1 2 5 5

Sample Output

3
7
20

Solution

f[i]表示至少有i个good点不great的生成树个数（这i个good点只选一种情况）
g[i]表示恰有i个good点不great的生成树个数（这i个good点只选一种情况）
以上两个数组可以只用一个数组qwq
h[i]表示这tot个good点中使i个为great并且权值不超过maxval的方案数
最终答案就是(sum_{i=1}^{tot}g[i]*h[tot-i])
f[i]直接由矩阵树定理求出，g[i]显然可以由f[i]递推得到
h[i]直接折半搜索
PS:注意不要爆空间

Code

//By Menteur_Hxy
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define F(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define R(i,a,b) for(register int i=(b);i>=(a);i--)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;

inline LL read() {
    LL x=0,f=1; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
    while(isdigit(c)) x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();
    return x*f;
}

const int N=41,MOD=1e9+7,MAX=1048580;
int n,m,tot,cnt,ans;
int val[N],g[N],h[N],mat[N][N],fac[N],inv[N],Cnt[MAX][21];//注意空间大小
PII da[MAX];

LL qpow(LL a,LL b) {
    LL t=1; 
    while(b) {
        if(b&1) t=t*a%MOD;
        a=a*a%MOD; b>>=1;
    }
    return t;
}

void init() {
    fac[0]=1; F(i,1,40) fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%MOD;
    inv[40]=qpow(fac[40],MOD-2);
    R(i,0,40-1) inv[i]=(LL)inv[i+1]*(i+1)%MOD;
}

LL C(int m,int n) {return (LL)fac[m]*inv[m-n]%MOD*inv[n]%MOD;}

void print() {
    F(i,1,n) {
        F(j,1,n) cout<<mat[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }cout<<endl;
}

LL getf(int x) {
    LL res=1,fla=1;
    memset(mat,0,sizeof(mat));
    F(i,1,x) F(j,tot+1,n) mat[i][i]++,mat[j][j]++,mat[i][j]--,mat[j][i]--;
    F(i,x+1,n) F(j,i+1,n) mat[i][i]++,mat[j][j]++,mat[i][j]--,mat[j][i]--;//注意连边
    // print();
    // cout<<x<<endl;
    F(i,1,n-1) {//注意去掉一行一列!!
        int mx=i; F(j,i,n-1) if(mat[j][i]!=0) {mx=j;break;} 
        if(mx!=i) {F(j,i,n-1) swap(mat[i][j],mat[mx][j]);fla=-fla;}
        if(!mat[mx][i]) return 0;
        res=(LL)res*mat[i][i]%MOD;
        LL Inv=qpow(mat[i][i],MOD-2);
        F(j,i,n-1) mat[i][j]=(LL)mat[i][j]*Inv%MOD;
        F(j,i+1,n-1) {
            LL tmp=mat[j][i]; mat[j][i]=0;
            F(k,i+1,n-1) mat[j][k]=(mat[j][k]-(LL)tmp*mat[i][k]%MOD+MOD)%MOD;
        }
        // print();
    }
    return res*fla;
}

void dfs1(int l,int r,int num,int sum) {
    if(l>r) {da[++cnt]=PII(sum,num);return ;}
    dfs1(l+1,r,num,sum);
    if(sum+val[l]<=m) dfs1(l+1,r,num+1,sum+val[l]);
}

void dfs2(int l,int r,int num,int sum) {
    if(l>r) {
        int p=upper_bound(da+1,da+1+cnt,PII(m-sum,n+1))-da-1;//!!!
        F(i,0,tot/2) h[i+num]=(h[i+num]+Cnt[p][i])%MOD;
        return ;
    }
    dfs2(l+1,r,num,sum);
    if(sum+val[l]<=m) dfs2(l+1,r,num+1,sum+val[l]);
}

bool cmp(int x,int y) {return x>y;}

void solve() {  
    n=read(),m=read();tot=cnt=ans=0;
    F(i,1,n) val[i]=read(),tot+=(val[i]!=-1);
    sort(val+1,val+1+n,cmp);
    F(i,0,tot) g[i]=getf(i);
    // F(i,0,tot) cout<<g[i]<<" ";cout<<endl;
    R(i,0,tot) F(j,i+1,tot) g[i]=(g[i]-(LL)C(tot-i,j-i)*g[j]%MOD+MOD)%MOD;
    dfs1(1,tot/2,0,0);
    sort(da+1,da+1+cnt);
    F(i,1,cnt) {
        F(j,0,tot/2) Cnt[i][j]=Cnt[i-1][j];
        Cnt[i][da[i].second]++;
    }
    memset(h,0,sizeof(h));//初始化！！
    dfs2(tot/2+1,tot,0,0);
    F(i,0,tot) ans=(ans+(LL)g[i]*h[tot-i]%MOD)%MOD;
    // F(i,1,tot) cout<<val[i]<<" ";cout<<endl;cout<<endl;
    // F(i,1,cnt) cout<<da[i].first<<" "<<da[i].second<<endl;cout<<endl;
    // F(i,1,cnt) F(j,1,10) if(Cnt[i][j]) cout<<
    // F(i,0,tot) cout<<g[i]<<" "<<h[i]<<endl;
    printf("%lld
",ans);
}

int main() {
    init();
    int T=read();
    while(T--) solve();
    return 0;
}