基础DP总结

Posted 2020-10-14

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基础DP总结

关键词：基础DP问题，LIS，LCS，状压DP

简析 ：DP大法好啊，当一个大问题不好解决的时候，我们研究它与其子问题的联系，然后子问题又找它的子问题，如此下去，一直推，一直减小到可以轻而易举求出答案（称为边界）。所以解决DP问题就是要推出一个正确的递推式。

一、DP解决基础递推问题

　　1）斐波那契数列

　　　　dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]

　　　　边界：dp[0] = 0 , dp[1] = 1 .

　　2 ）Max sum

　　　　题目链接 ： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1003

　　　　dp[n]表示从1~n段的最大子串和

　　　　用sum存储第n个数字能和前面的数字构成的最大和

　　　　可得 ： dp[n] = max( dp[n-1] , sum )

　　　　　　　　边界：求出dp[1]

　　　　只有一个状态，一个for循环即可，O(N).

　　3）经典DP问题：数塔

　　　　题目链接 ： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2084

　　　　分析 ： 数塔就像一个满二叉树啊。我到底是走左边还是走右边能获得最大值呢？然后每一个点都能这样考虑，就是一个递归的问题了，普通的递归必然  　　　　时间复杂度过大，那再记忆化递归，求完每点的答案用一个数组存储，那就可以了。其实这已经是DP的解法了，下面来看看标准的DP解法

　　　　dp[i][j] ： 储存从高度为i，左边数第j个节点走到底的数字和最大值

　　　　dp[i][j] = max( dp[i-1][j]  , dp[i-1][j+1] )

　　　　边界：求出底层 dp[0][j] 的值

　　　　代码参考 ： 题目链接里的discuss

二、LIS，LCS问题

　　仅作简要分析

　　1）LIS（最长递增子序列）

　　分析 ：从DP的视角来分析，假设子状态均已求出，怎么通过转移得到答案呢？单单从dp[n-1]转移得到的答案是正确的吗？

　　

    dp[n]=dp[n-1];
for(i = 0; i<n;i++)
   {  
        if(a[n]>a[i])
          dp[n]=max(dp[n],dp[i]+1);        
    }    

　　时间复杂度：O(N*N)

　　然而这个复杂度在ACM中是过不了题的，对其优化就在于对子状态的选取，来取代遍历。二分的办法让复杂度降到了O(N*logN)。

int ans[MAX_N], a[MAX_N], dp[MAX_N], n;  // ans 用来保存每个 dp 值对应的最小值，a 是原数组
int len; // LIS 最大值

ans[1] = a[1];
len = 1;

for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (a[i] > ans[len]) {	//改成>=的话，下面
        ans[++len] = a[i];
    } else {
        int pos = lower_bound(ans, ans + len, a[i]) - ans;  //改成upper_bound
        ans[pos] = a[i];
    }
}

cout << len << endl;  // len 就是最终结果

　　2)LCS（最长公共子序列）

　　dp[i][j]: A串0 ~ i 与B串0 ~ j 的最长公共子序列

　　DP分析：还是当dp[i][j]之前的状态已知，怎么推出dp[i][j]。

 

　　　　　　　　  I ：dp[i][j] = max( dp[i-1][j] , dp[i][j-1] );

　　　　　　  II ： 如果字符 i 刚好和字符 j 匹配，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1

　　　　　　想不到还有其它的可能了。

　　题目链接 ： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1159

　　题解：

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>

char s1[1005], s2[1005];
int dp[1005][1005];
int max(int x,int y)
{
	if(x>y) return x;
	else return y;
} 
int main(){
    int len_s1,len_s2,i,j;
	while(~scanf("%s%s", s1, s2)){
         len_s1 = strlen(s1), len_s2 = strlen(s2);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));   
        for( i = 0; i < len_s1; i++)
            for( j = 0; j < len_s2; j++)
                if(s1[i] == s2[j])
                    dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1;
                else
                    dp[i + 1][j + 1] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]);
        printf("%d\n",dp[len_s1][len_s2]);
    }
}

 

　　注意：边界处理（ｉ或ｊ为０，１的时候）

三、状压ＤＰ（二进制枚举状态）

 

稍后补。。。

　　　　

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