Luogu 3119 [USACO15JAN]草鉴定Grass Cownoisseur

Posted 2021-01-05 czxingchen

思路很乱，写个博客理一理。

缩点 + dp。

首先发现把一个环上的边反向是意义不大的，这样子不但不好算，而且相当于浪费了一次反向的机会。反正一个强连通分量里的点绕一遍都可以走到，所以我们缩点之后把一个强连通分量放在一起处理。

设$st$表示缩点之后$1$所在的点，设$f_{x}$表示从$st$走到$x$的最长链，$g_{x}$表示从$x$走到$st$的最长链，因为把一个$DAG$上的边反向一下并不会走重复的点，那么我们最后枚举一下边$(x, y)$，把它反向，这样子$f_{x} + g_{y} - siz_{st}$就可以成为备选答案，更新$ans$即可。

注意到有可能整个图强连通，所以$ans$应初始化为$siz_{st}$。

考虑一下$f$和$g$怎么求，一种想法是$st$开始的最长路，我们可以在反图和正图上分别跑一遍$spfa$，这样子可以通过，但是我并不清楚在$DAG$上$spfa$的表现是不是稳定的，另一种想法就是$dp$，直接记搜搞一搞，但是直接记搜是错误的，因为有一些点是不可能走到的，所以在$dp$之前要先$dfs$一遍标记出所有的合法点，然后再进行记搜即可。

时间复杂度$O(n)$。

放上写得很丑很长还可能有锅的代码。

你谷的数据是真的水。

Code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;

int n, m, tot = 0, head[N], dfsc = 0, dfn[N], low[N];
int scc = 0, f[N], g[N], inx[N], iny[N], top = 0, sta[N], bel[N], siz[N];
bool vis[N], ok[N];
vector <int> G1[N], G2[N];

struct Edge {
    int to, nxt;
} e[N];

inline void add(int from, int to) {
    e[++tot].to = to;
    e[tot].nxt = head[from];
    head[from] = tot;
}

inline void read(int &X) {
    X = 0; char ch = 0; int op = 1;
    for(; ch > ‘9‘ || ch < ‘0‘; ch = getchar())
        if(ch == ‘-‘) op = -1;
    for(; ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘; ch = getchar())
        X = (X << 3) + (X << 1) + ch - 48;
    X *= op;
}

inline int min(int x, int y) {
    return x > y ? y : x;
}

void tarjan(int x) {
    low[x] = dfn[x] = ++dfsc;
    vis[x] = 1, sta[++top] = x;
    for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
        int y = e[i].to;
        if(!dfn[y]) {
            tarjan(y);
            low[x] = min(low[x], low[y]);
        } else if(vis[y])
            low[x] = min(low[x], dfn[y]);
    } 
    
    if(low[x] == dfn[x]) {
        ++scc;
        for(; sta[top + 1] != x; --top) {
            vis[sta[top]] = 0;
            siz[scc]++;
            bel[sta[top]] = scc;
        }
    }
}

inline void chkMax(int &x, int y) {
    if(y > x) x = y;
}

void dfs1(int x) {
    ok[x] = 1, vis[x] = 1;
    for(unsigned int i = 0; i < G1[x].size(); i++) {
        int y = G1[x][i];
        dfs1(y);
    }
}

int dp1(int x) {
    if(vis[x]) return f[x];
    vis[x] = 1;
    int res = 0;
    for(unsigned int i = 0; i < G2[x].size(); i++) {
        int y = G2[x][i];
        if(ok[y]) chkMax(res, dp1(y));
    }    
    f[x] = res + siz[x];
    return f[x];
}

void dfs2(int x) {
    ok[x] = 1, vis[x] = 1;
    for(unsigned int i = 0; i < G2[x].size(); i++) {
        int y = G2[x][i];
        dfs2(y);
    }
}

int dp2(int x) {
    if(vis[x]) return g[x];
    vis[x] = 1;
    int res = 0;
    for(unsigned int i = 0; i < G1[x].size(); i++) {
        int y = G1[x][i];
        if(ok[y]) chkMax(res, dp2(y));
    }    
    g[x] = res + siz[x];
    return g[x];
}

int main() {
//    freopen("testdata.in", "r", stdin);
    
    read(n), read(m);
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        read(inx[i]), read(iny[i]);
        add(inx[i], iny[i]);
    } 
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
            
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        if(bel[inx[i]] == bel[iny[i]]) continue;
        G1[bel[inx[i]]].push_back(bel[iny[i]]);
        G2[bel[iny[i]]].push_back(bel[inx[i]]);
    }
    
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(ok, 0, sizeof(ok));    
    dfs1(bel[1]);
    
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(int i = 1; i <= scc; i++) {
        if(ok[i]) dp1(i);
    }
    
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(ok, 0, sizeof(ok));    
    dfs2(bel[1]);
    
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(int i = 1; i <= scc; i++) {
        if(ok[i]) dp2(i);
    }
    
/*    for(int i = 1; i <= scc; i++)
        printf("%d ", g[i]);
    printf("
");
    for(int i = 1; i <= scc; i++)
        printf("%d ", f[i]);
    printf("
");   */
    
    int ans = siz[bel[1]];
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int u = bel[iny[i]], v = bel[inx[i]];
        if(u == v) continue;
        if(f[u] && g[v]) chkMax(ans, f[u] + g[v] - siz[bel[1]]);
    }
    
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}

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