最大m子段和

Posted 2021-01-05 bright-mark

参考自：最大m子段和总结与例题 51nod1052 HDU1024

 

题目介绍：

给定由n个整数（可能为负）组成的序列a1、a2、a3...,an,

以及一个正整数m，要求确定序列的m个不相交子段，使这m个子段的总和最大！

特别注意：

有些题目可能不存在负数答案，给出的序列全是负数，那么不管m是多少，答案是0。此时选择的子段是0个，不足m个，但符合题意。。。

也可能有些题目要求，必须选够m个子段。

区别在dp数组的初始化。前者要求dp初始为0，后者要求第0行为0，其余为负无穷

 

解题思路：

动态规划，借助矩阵可以直观的看到计算过程。

 

定义二维数组dp， dp[ i ][ j ]，表示前 j 项所构成 i 子段的最大和，且必须包含着第j项，即以第j项结尾

 

然后是一个递推过程。

 

求dp[ i ][ j ]，有两种情况：

 

1、dp[ i ][ j ] = dp[ i ] [ j-1 ] + a[ j ] ，即把第j项融合到第 j-1 项的子段中，子段数没变

 

2、dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ] [ t ] + a[ j ]，（i-1<= t < j ）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;  
typedef long long ll;
const int N=1e6+5; 
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m;
ll a[N],dp[2][N];   //只保存上一行和当前行 
int main()  
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))   //n个数字，m子段和 
    { 
        for(int i=1;i<=n;i++) 
            scanf("%lld",a+i);  
        for(int i=0;i<=n;i++)
            dp[0][i]=0,dp[1][i]=0;    //关键！此题答案只允许正值
        
        for(int i=1,k=1;i<=m;i++,k^=1)    //分为i段，k为两行之间的切换
        {
            dp[k][i-1]=-INF;   //i==j时，杜绝与前一元素共伍
            ll maxpre=-INF;    //maxpre记录上一行的最大值
            for(int j=i;j<=n-m+i;j++)
            {
                maxpre=max(maxpre,dp[k^1][j-1]);     //随时更新上一行最大值
                dp[k][j]=max(dp[k][j-1],maxpre)+a[j]; //*对情况1、2的选择
　　　　　　　　　　//如果a[j]是负数的话，也是不会影响maxpre的。因为在第i子段中，a[j]的值是不断变化的，总有dp[k][j]是当前最大值。
　　　　　　　　　　//还得进一步加深对dp的理解。

            }
        }
        ll ans=-INF;
        for(int i=m;i<=n;i++)   //找到第m行的最大值，即为答案
                ans=max(ans,dp[m&1][i]);
        printf("%lld
",ans);
    }  
}