算法竞赛训练指南2.1 计数方法

Posted 2021-01-05 jkzr

1.　　O(n)方法求C(n,m)

　　　　利用公式C(n,k+1)=C(n,k)*(n-k)/(k+1)

　　　　模板：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long LL;
const int maxn=100005;
LL n,m;
LL C()
{
    if(m==0||n==m)
        return 1;
    if(m>n-m)
        m=n-m;
    LL ans,temp=1;
    for(LL i=1;i<=m;i++)
    {
        ans=temp*(n-i+1)/i;
        temp=ans;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m;
        cout<<C()<<endl;
    }
    return 0;
}

2.　　有重复元素的全排列，有k个元素，其中第i个元素有ni个，求全排列的个数

　　　　见白书的细致讲解，书上面说的更清楚。

3.　　可重复的选取的组合，有n个不同的元素，每个元素可以选多次，一共选k个元素，有多少种方法。

　　　　想法：设第i个元素选xi个，问题就转化为了x1+x2+x3+...+xn=k的非负整数解有多少个，就相当于把k个元素分为n组，那么只需要再这些元素中插入n-1个板，然后再n-1+k当中找这n-1块板，那么结果就是C(n+k-1,n-1）=C(n-1+k,k)；

4.　　单色三角形：给定n个点，且没有三色共线，每两个点之间都用黑色或者红色的线段连接，求3条边同色的三角形数。

　　　　想法：求同色的可以先求不同色的，每个非单色的三角形中，恰好有两个顶点连接两条异色边，而且有一个公共点的两条异色边总是唯一对应一个非单色三角形，因此如果第i个点连接了ai条红边，n-1-ai条黑边，则这些边属于ai*(n-1-ai)个非单色的三角形，每个非单色的三角形选了两次故还需要除以2，这样同色的也就求出来了。