hdu 2062 Subset sequence

Posted 2021-01-05 unknownname

题目分析

考虑一个集合 An = { 1, 2, ..., n}。比如，A1={1}，A3={1,2,3}。我们称一个非空子集元素的排列为一个子集序列。对所有的子序列按字典顺序排序。你的任务就是给出第m个子序列 

 

首先我们来看看An一共有多少个子集。

n=1时,只有{1}一个子集合

n=2时，就有:
{1}, {2},
{1, 2}, {2, 1}
4个子集合。

n=3时，有
{1}, {2}, {3},
{1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 1}, {3, 2},
{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}

 

 

也许你发现规律了。An子集合的个数为:
C¹_n·A¹₁ + C²_n·A²₂ + ... + Cⁿ_n·Aⁿ_n
这个公式是对的。但我们换个角度看。

n=3时，有
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
{1, 3}
{1, 3, 2}

{2}
{2, 1}
{2, 1, 3}
{2, 3}
{2, 3, 1}

{3}
{3, 1}
{3, 1, 2}
{3, 2}
{3, 2, 1}n=3时，有
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
{1, 3}
{1, 3, 2}

{2}
{2, 1}
{2, 1, 3}
{2, 3}
{2, 3, 1}

{3}
{3, 1}
{3, 1, 2}
{3, 2}
{3, 2, 1}

 

不难发现，An可以按首数字分成n组，而每组里除了第一项，剩下的就是An-1的子集合了。
∴f(n) = n[f(n-1) + 1]
f(1) = 1

我们拿测试数据3 10来做个示范，解释一下怎么求解。
因为n=3，所以开始数组里1、2、3三个数。
我们知道，n=2时，有4种排列，所以上面n=3可以分成三组，每组5个(加上空集)。
因此第10个在第二组里。所以第一个是2，把2输出。原来的数组里删除2，变成1、3两个数。然后10 - (2 - 1) * 5 = 5，即它在第2组的第5个。
减去首个空集合，5 - 1 = 4 ≠ 0，表示2后面还有数字。
因为A1 = 1是，所以再第2组里又可以分成两组，每组2个(加上空集)。
所以，4在第2组，剩下的数组中，第二个元素是3，所以输出3。再把数组里的3删除，剩下1一个数。
然后4 - (2 - 1) * 2 = 2，既它是第2组的第2个。
减去首个空集，2 - 1 = 1 ≠ 0，表示2后面还有数字。
按上面的方法继续下去，直到n = 0 或 后面为空集为止。
最后输出数组里的第1个元素，就得到2 3 1，就是解了。

从上面的计算可以看出来，本题目的关键是先求的An中每一组的个数g(n)
不难得出:g(n) = f(n) / n
∵f(n) = n[f(n-1) + 1]
∴g(n) = n[f(n-1) + 1] / n = f(n-1) + 1
∵f(n-1) = (n-1) * g(n-1)
∴g(n) = (n-1) * g(n-1) + 1