luogu4430 小猴打架

Posted 2021-01-05 oier

假硕讲了个prufer编码和Caylay公式

我为了证明prufer编码没用

所以用矩阵树定理证明了Caylay公式

让我们用矩阵树定理推一波

首先这个小猴打架最后会打成一棵树，这棵树是N个点的完全图的生成树

所以用矩阵树定理

构建矩阵(N个点的完全图)

这是我们的邻接矩阵

(egin{vmatrix}0&1&1&cdots&1\\1&0&1&cdots&1\\1&1&0&cdots&1\\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\\1&1&1&cdots&0end{vmatrix})

然后是我们的度数矩阵

(egin{vmatrix}N-1&0&0&cdots&0\\0&N-1&0&cdots&0\\0&0&N-1&cdots&0\\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\\0&0&0&cdots&N-1end{vmatrix})

所以说我们的基尔霍夫矩阵是N*N的下面矩阵：

(egin{vmatrix}N-1&-1&-1&cdots&-1\\-1&N-1&-1&cdots&-1\\-1&-1&N-1&cdots&-1\\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\\-1&-1&-1&cdots&N-1end{vmatrix})

然后我们开始大力跑代数余子式

划掉第N行第N列的元素得到一个(N-1)*(N-1)的矩阵：

(egin{vmatrix}N-1&-1&-1&cdots&-1\\-1&N-1&-1&cdots&-1\\-1&-1&N-1&cdots&-1\\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\\-1&-1&-1&cdots&N-1end{vmatrix})

注意这个矩阵是(N-1)*(N-1)的

然后对这个矩阵进行各种初等变换(初等乱搞)(以下方法参考《线性代数》)

我们先让第一行成为所有(N-1)行的和(初等变换第三条)

(egin{vmatrix}1&1&1&cdots&1\\-1&N-1&-1&cdots&-1\\-1&-1&N-1&cdots&-1\\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\\-1&-1&-1&cdots&N-1end{vmatrix})

然后让第2~(N-1)行都加上第一行(初等变换第三条)

(egin{vmatrix}1&1&1&cdots&1\\0&N&0&cdots&0\\0&0&N&cdots&0\\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\\0&0&0&cdots&Nend{vmatrix})

消成了上三角矩阵（美滋滋）

所以行列式就是对角线元素相乘，有1个1，(N-2)个N

所以生成树个数为(N^{N-2})

然后

考虑生成树的每一条边

小猴打架可以按照任意的顺序

所以每一种生成树的产生顺序就是他的边的排列个数，

有((N-1))条边所以排列为((N-1)!)

所以最后答案是(N^{N-2}(N-1)!)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define p 9999991
long long n, ans = 1;

int main()
{
    scanf("%lld", &n);
    for (int i = 1; i <= n - 2; i++)
        ans = ans * n % p * (i + 1) % p;
    printf("%lld
", ans);
    return 0;
}

让我们一起膜拜大佬林瑞堂@olinr