MATLAB深度学习多层神经网络

Posted 2021-01-05 negan-zw

多层神经网络

　　对于多层神经网络的训练，delta规则是无效的，因为应用delta规则训练必须要误差，但在隐含层中没有定义。输出节点的误差是指标准输出和神经网络输出之间的差别，但训练数据不提供隐藏层的标准输出。

　　真正的难题在于怎么定义隐藏节点的误差，于是有了反向传播算法。反向传播算法的重要性在于，它提供了一种用于确定隐含节点误差的系统方法。在该算法中，输出误差从输出层逐层后移，直到与输入层相邻的隐含层。

1.反向传播算法

　　在反向传播算法中，隐含节点误差的计算方式是求取delta的反向加权和，节点的delta是误差与激活函数导数之积。该过程从输出层开始，并重复于所有隐含层。

　　MATLAB代码实现：

　　输入数据为 { [(0,0,1),0],[(0,1,1),1],[(1,0,1),1],[(1,1,1),0] }，网络结构为三个输入节点，四个节点组成的隐含层，一个输出节点。Sigmoid函数为激活函数，采用SGD实现反向传播算法。

function [W1, W2] = BackpropXOR(W1, W2, X, D)
% 以神经网络的权重和训练数据作为输入，返回调整后的权重
% 其中W1和W2为相应层的权重矩阵；X和D分别是训练数据的输入和标准输入
  alpha = 0.9;
  
  N = 4;  
  for k = 1:N
    x = X(k, :)‘;
    d = D(k);
    
    v1 = W1*x;
    y1 = Sigmoid(v1);    
    v  = W2*y1;
    y  = Sigmoid(v);
    
    e     = d - y;
    delta = y.*(1-y).*e;

    e1     = W2‘*delta;    % 反向传播
    delta1 = y1.*(1-y1).*e1; 
    
    dW1 = alpha*delta1*x‘;
    W1  = W1 + dW1;
    
    dW2 = alpha*delta*y1‘;    
    W2  = W2 + dW2;
  end
end

　　Sigmoid函数定义如下：

function y = Sigmoid(x)
  y = 1 ./ (1 + exp(-x));
end

　　验证函数效果程序：

clear all
           
X = [ 0 0 1;
      0 1 1;
      1 0 1;
      1 1 1;
    ];

D = [ 0
      1
      1
      0
    ];
      
W1 = 2*rand(4, 3) - 1;
W2 = 2*rand(1, 4) - 1;

for epoch = 1:10000           % train
  [W1 W2] = BackpropXOR(W1, W2, X, D);
end

N = 4;                        % inference
for k = 1:N
  x  = X(k, :)‘;
  v1 = W1*x;
  y1 = Sigmoid(v1);
  v  = W2*y1;
  y  = Sigmoid(v)
end

　　输出结果为：0.0077，0.9887，0.9885，0.0134。解决了异或问题。

2.动量

　　动量m是一个添加到delta规则中用于调整权重的项。使用动量项推动权重在一定程度上向某个特定方向调整，而不是产生立即性改变。它的行为类似于物理学中的动量，能够阻碍物体本身对外力的反应。

 

 　　是上一次的动量，是一个小于1的常数。动量随时间变化方式如下：

　　在过程的每一步，都向动量加上上一步的权重更新，如等。由于小于1，所以越早的权重更新对动量的影响越小。虽然影响力随着时间的推移而减弱，但是更早的权重更新仍然存在于动量之中。因此，权重不仅受某个特定权重更新值的影响。故而，学习的稳定性得到提高。此外，动量随着权重更新而逐渐增大。因而权重更新量也随之越来越大。因此，学习的效率也提高了。

 　　应用了动量的反向传播算法：

function [W1, W2] = BackpropMmt(W1, W2, X, D)
  alpha = 0.9;
  beta  = 0.9;

  mmt1 = zeros(size(W1));
  mmt2 = zeros(size(W2));
  
  N = 4;  
  for k = 1:N
    x = X(k, :)‘;
    d = D(k);
    
    v1 = W1*x;
    y1 = Sigmoid(v1);    
    v  = W2*y1;
    y  = Sigmoid(v);
    
    e     = d - y;
    delta = y.*(1-y).*e;

    e1     = W2‘*delta;
    delta1 = y1.*(1-y1).*e1; 
    
    % 动量
    dW1  = alpha*delta1*x‘;
    mmt1 = dW1 + beta*mmt1;
    W1   = W1 + mmt1;
    
    dW2  = alpha*delta*y1‘;
    mmt2 = dW2 + beta*mmt2;    
    W2   = W2 + mmt2;
  end
end

　　测试代码：

clear all
           
X = [ 0 0 1;
      0 1 1;
      1 0 1;
      1 1 1;
    ];

D = [ 0
      1
      1
      0
    ];
      
W1 = 2*rand(4, 3) - 1;
W2 = 2*rand(1, 4) - 1;

for epoch = 1:10000           % train
  [W1 W2] = BackpropMmt(W1, W2, X, D);
end

N = 4;                        % inference
for k = 1:N
  x  = X(k, :)‘;
  v1 = W1*x;
  y1 = Sigmoid(v1);
  v  = W2*y1;
  y  = Sigmoid(v)
end

　　测试结果为 0.0030，0.9947，0.9909，0.0160。

3.代价函数与学习规则

　　神经网络误差的度量就是代价函数。神经网络的误差越大，代价函数的值就越高。

 

　　交叉熵函数对误差更敏感，通常认为交叉熵函数导出的学习规则能够得到更好的性能。正则化的本质是将权重叠加到代价函数中。

　　交叉函数示例程序：网络结构和输入数据更上面一样

 

function [W1, W2] = BackpropCE(W1, W2, X, D)
  alpha = 0.9;
  
  N = 4;  
  for k = 1:N
    x = X(k, :)‘;        % x = a column vector
    d = D(k);
    
    v1 = W1*x;
    y1 = Sigmoid(v1);    
    v  = W2*y1;
    y  = Sigmoid(v);
    
    e     = d - y;
    delta = e;

    e1     = W2‘*delta;
    delta1 = y1.*(1-y1).*e1; 
    
    dW1 = alpha*delta1*x‘;
    W1 = W1 + dW1;
    
    dW2 = alpha*delta*y1‘;    
    W2 = W2 + dW2;
  end
end

 

　　其差别在于delta的计算上。以下是测试代码：

clear all
           
X = [ 0 0 1;
      0 1 1;
      1 0 1;
      1 1 1;
    ];

D = [ 0
      1
      1
      0
    ];
      
W1 = 2*rand(4, 3) - 1;
W2 = 2*rand(1, 4) - 1;

for epoch = 1:10000                    % train
  [W1 W2] = BackpropCE(W1, W2, X, D);
end

N = 4;                                 % inference
for k = 1:N
  x  = X(k, :)‘;
  v1 = W1*x;
  y1 = Sigmoid(v1);
  v  = W2*y1;
  y  = Sigmoid(v)
end

　　输出结果为 4.0043e-05，0.9997，0.9999，3.9127e-04。

 

4.代价函数比较

　　比较两种代价函数的误差均值，代码如下：

clear all
           
X = [ 0 0 1;
      0 1 1;
      1 0 1;
      1 1 1;
    ];

D = [ 0
      0
      1
      1
    ];


E1 = zeros(1000, 1);
E2 = zeros(1000, 1);

W11 = 2*rand(4, 3) - 1;      % Cross entropy       
W12 = 2*rand(1, 4) - 1;      % 
W21 = W11;                   % Sum of squared error
W22 = W12;                   %

for epoch = 1:1000
  [W11 W12] = BackpropCE(W11, W12, X, D);
  [W21 W22] = BackpropXOR(W21, W22, X, D);

  es1 = 0;
  es2 = 0;
  N   = 4;
  for k = 1:N
    x = X(k, :)‘;
    d = D(k);

    v1  = W11*x;
    y1  = Sigmoid(v1);
    v   = W12*y1;
    y   = Sigmoid(v);
    es1 = es1 + (d - y)^2;
    
    v1  = W21*x;
    y1  = Sigmoid(v1);
    v   = W22*y1;
    y   = Sigmoid(v);
    es2 = es2 + (d - y)^2;
  end
  E1(epoch) = es1 / N;
  E2(epoch) = es2 / N;
end

plot(E1, ‘r‘)
hold on
plot(E2, ‘b:‘)
xlabel(‘Epoch‘)
ylabel(‘Average of Training error‘)
legend(‘Cross Entropy‘, ‘Sum of Squared Error‘)

　　输出结果下图所示，交叉熵代价函数能更快地速度降低训练误差。