图的割点与割边

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了图的割点与割边相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

割点

什么是割点?

如果在一个图中,如果把一个点删除,那么这个图不再联通,那么这个点就是割点(割顶),当然是在无向图。

如何实现?

如果我们尝试删除每个点,并且判断这个图的联通性,那么复杂度会特别的高。所以要介绍一个常用的算法:(Tarjan)

首先,我们上一个图:

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很容易的看出割点是 2,而且这个图仅有这一个割点。

首先,我们按照 (DFS) 序给他打上时间戳(访问的顺序)。

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这些信息被我们保存在一个叫做 num 的数组中。

还需要另外一个数组 low,用它来存储不经过其父亲(你有多个那么就看你遍历到了哪个)能到达的时间戳。

例如 2 的话是 1, 5 和 6 是 3。

然后我们开始 (DFS),我们判断某个点是否是割点的根据是:对于某个顶点 (u),如果存在至少一个顶点 (v)(u) 的儿子),使得 (low_v>=num_u),即不能回到祖先,那么 (u) 点为割点。

另外,如果搜到了自己(在环中),如果他有两个及以上的儿子,那么他一定是割点了,如果只有一个儿子,那么把它删掉,不会有任何的影响。比如下面这个图,此处形成了一个环,从树上来讲它有 2 个儿子:

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我们在访问 1 的儿子时候,假设先 (DFS) 到了 2,然后标记用过,然后递归往下,来到了 4, 4 又来到了 3,当递归回溯的时候,会发现 3 已经被访问过了,所以不是割点。

更新 low 的伪代码如下:

如果 v 是 u 的儿子
    low[u]=min(low[u],low[v]);
否则
    low[u] = min(low[u],num[v]);

洛谷 P3388 【模板】割点(割顶)

Code

/*
洛谷 P3388 【模板】割点(割顶)
算法: Tarjan
时间:2018 8 22
by @liyifeng 
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;//n:点数 m:边数 
int num[100001],low[100001],inde,res;
//num:记录每个点的时间戳 low:能不经过父亲到达最小的编号,inde:时间戳,res:答案数量 
bool vis[100001],flag[100001];//flag: 答案 vis:标记是否重复 
vector <int> edge[100001];// 存图用的 
void Tarjan(int u,int father)//u 当前点的编号,father 自己爸爸的编号 
{
    vis[u]=true;// 标记 
    low[u]=num[u]=++inde;// 打上时间戳 
    int child=0;// 每一个点儿子数量 
    for(auto v : edge[u])// 访问这个点的所有邻居 (C++11) 
    {
        if(!vis[v])
        {
            child++;// 多了一个儿子 
            Tarjan(v,u);// 继续 
            low[u]=min(low[u],low[v]);// 更新能到的最小节点编号 
            if(father!=u&&low[v]>=num[u]&&!flag[u])// 主要代码 
            // 如果不是自己,且不通过父亲返回的最小点符合割点的要求,并且没有被标记过 
            // 要求即为:删了父亲连不上去了,即为最多连到父亲
            {
                flag[u]=true;
                res++;// 记录答案 
            }
        }
        else if(v!=father)
            low[u]=min(low[u],num[v]);// 如果这个点不是自己,更新能到的最小节点编号 
    }
    if(father==u&&child>=2&&!flag[u])// 主要代码,自己的话需要 2 个儿子才可以 
    {
        flag[u]=true;
        res++;// 记录答案 
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;// 读入数据 
    for(int i=1;i<=m;i++)// 注意点是从 1 开始的 
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        edge[x].push_back(y);
        edge[y].push_back(x);
    }// 使用 vector 存图 
    for(int i=1;i<=n;i++)// 因为 Tarjan 图不一定联通 
        if(!vis[i])
        {
            inde=0;// 时间戳初始为 0 
            Tarjan(i,i);// 从第 i 个点开始,父亲为自己 
        }
    cout<<res<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(flag[i]) cout<<i<<" ";// 输出结果 
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<low[i]<<endl;
    return 0;
}

割边

什么是割边?

和割点差不多,还叫做割桥。

无向联通图中,去掉一条边,图中的连通分量数增加,则这条边,称为桥或者割边,当然也是在无向图。

实现

和割点差不多,只要改一处: (low_v>num_u) 就可以了,而且不需要考虑根节点的问题。

割边是和是不是根节点没关系的,原来我们求割点的时候是指点 (v) 是不可能不经过父节点 (u) 为回到祖先节点(包括父节点),所以顶点 (u) 是割点。如果 (low_v==num_u) 表示还可以回到父节点,如果顶点 (v) 不能回到祖先也没有另外一条回到父亲的路,那么 (u-v) 这条边就是割边

(Tarjan) 算法还有许多用途,常用的例如求强连通分量,缩点,还有求 (2-SAT) 的用途等。

以上是关于图的割点与割边的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

图的割点与割边(超详细!!!)

图的割边--仅仅与割点有一个等号的差别

Tarjan算法:求解图的割点与桥(割边)

hihoCoder 1183 连通性一·割边与割点(Tarjan求割点与割边)

图的割点桥与双连通分支

图的割点桥和双连通分支的基本概念