POJ1050 To the Max - 贪心[最大子矩阵和]

Posted 2021-01-05 loi-brilliant

POJ1050 To the Max

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题意：

给定一个(n*n)的带权矩阵，求一个矩阵，使矩阵内权值之和最大，输出这个矩阵的权值和。$nleq100 $

思路：

可以利用前缀和优化，然后(O(n^4))枚举矩阵的左上角和右下角，求出最大二维前缀和。
这样的枚举方案比较难以再次优化，我们考虑矩阵权值和的实质：等价于我们将矩阵每列的权值加起来，形成一个新数列，然后对这个数列求和，而最大的矩阵权值和，相当于在矩阵上下边界不变的情况下使新数列的和最大，即新数列的最大子段和。所以换种枚举方案：我们枚举矩阵的上下边界，将每列被夹在中间的权值加起来，形成一个长度为(n)的新数列，然后在这个数列上求最大子段和，最终答案是这(O(n^2))个最大子段和的(max)。

AC Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=500+100;
typedef long long ll;
int a[N][N];
ll sum[N][N];
ll num[N];
int main(){
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        memset(num,0,sizeof(num));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++){
                scanf("%d",&a[i][j]);
                sum[i][j]=sum[i-1][j]+a[i][j];
            }
        long long ans=-(1<<30);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                for(int k=1;k<=n;k++) num[k]=sum[i][k]-sum[j-1][k];
                long long res=-(1<<30),cnt=0;
                for(int k=1;k<=n;k++){
                    cnt+=num[k];
                    res=max(res,cnt);
                    if(cnt<0) cnt=0;
                }
                ans=max(ans,res);
            }
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}
/*
4
0 -2 -7 0 
9  2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8  0 -2

15
*/