覆盖点问题总结
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了覆盖点问题总结相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1.最小的包围圆，将所有的点包围起来。（hdu 3932）最小覆盖圆算法地址：http://soft.cs.tsinghua.edu.cn/blog/?q=node/1066
问题的背景提出：考察固定在工作平台上的一直机械手，要捡起散落在不同位置的多个零件，并送到别的地方。那么，这只机械手的底座应该选在哪里呢？根据直觉，应该选在机械手需够着的那些位置的“中心”。准确地讲，也就是包围这些点的那个最小圆的圆心----该位置的好处是，可使机械手的底座到它需要够着的那些点的最大距离最小化。于是可得如下问题：给定由平面上n个点所组成的一个集合P（对应于机械手需要够着的工作平台的那些位置），试找出P的最小包围圆（smallest enclosing disc）----亦即，包含P中所有点、半径最小的那个圆。这个最小包围圆必然是唯一的。
算法介绍：我们本次算法的设计是基于这样一个简单直观的性质：在既定的给定点条件下，如果引入一张新的半平面，只要此前的最优解顶点（即唯一确定最小包围圆的几个关键顶点）能够包含于其中，则不必对此最优解进行修改，亦即此亦为新点集的最优解；否则，新的最优解顶点必然位于这个新的半空间的边界上。
定理可以通过反证法证明。
于是，基于此性质，我们便可得到一个类似于线性规划算法的随机增量式算法。定义Di为相对于pi的最小包围圆。此算法实现的关键在于对于pi?Di-1时的处理。显然，如果pi∈Di-1，则Di= Di-1；否则，需要对Di另外更新。而且，Di的组成必然包含了pi；因此，此种情况下的最小包围圆是过pi点且覆盖点集{ p1 ，p2 ，p3 ……pi-1}的最小包围圆。则仿照上述处理的思路，Di={ p1 ，pi }，逐个判断点集{ p2 ，p3 ……pi-1 }，如果存在pj? Di，则Di={pj，pi }。同时，再依次对点集{ p1 ，p2 ，p3 ……pj-1 }判断是否满足pk∈Di，若有不满足，则Di={pk ，pj，pi }。由于，三点唯一地确定一个圆，故而，只需在此基础上判断其他的点是否位于此包围圆内，不停地更新pk。当最内层循环完成时，退出循环，转而更新pj；当次内层循环结束时，退出循环，更新pi。当i=n时，表明对所有的顶点均已处理过 ，此时的Dn即表示覆盖了给定n个点的最小包围圆。
问题：找出一个点使得这个店到n个点的最长距离最短，即求最小覆盖圆的半径。
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 using namespace std; 7 8 const double eps = 1e-8; 9 10 struct node{ 11 double x,y; 12 }; 13 14 struct node p[1005],central; 15 double R; 16 int n; 17 18 double dist(struct node a,struct node b){ 19 return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y)); 20 } 21 22 23 //求外接圆圆心,根据三边相等 24 struct node circumcenter(struct node a,struct node b,struct node c) 25 { 26 double a1=b.x-a.x, b1=b.y-a.y, c1=(a1*a1+b1*b1)/2; 27 double a2=c.x-a.x, b2=c.y-a.y, c2=(a2*a2+b2*b2)/2; 28 double d=a1*b2-a2*b1; 29 struct node tmp; 30 tmp.x = a.x + (c1*b2-c2*b1)/d ; 31 tmp.y = a.y+(a1*c2-a2*c1)/d; 32 return tmp; 33 } 34 35 void min_cover_circle(){ 36 random_shuffle(p,p+n); 37 central = p[0]; 38 int i,j,k; 39 R=0; 40 for(i=1;i<n;i++){ 41 if(dist(central,p[i])+eps>R){ 42 central = p[i]; 43 R=0; 44 for(j=0;j<i;j++){ 45 if(dist(central,p[j])+eps>R){ 46 central.x=(p[i].x+p[j].x)/2; 47 central.y=(p[i].y+p[j].y)/2; 48 R=dist(central,p[j]); 49 for(k=0;k<j;k++){ 50 if(dist(central,p[k])+eps>R){ 51 central=circumcenter(p[i],p[j],p[k]); 52 R=dist(central,p[k]); 53 } 54 } 55 } 56 } 57 } 58 } 59 } 60 61 62 int main(){ 63 double x,y; 64 while(scanf("%lf%lf%d",&x,&y,&n)!=EOF){ 65 int i; 66 for(i=0;i<n;i++){ 67 scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y); 68 } 69 min_cover_circle(); 70 printf("(%.1lf,%.1lf). %.1lf ",central.x,central.y,R); 71 } 72 return 0; 73 }
模拟退火算法
1 /* 2 参考：http://blog.sina.com.cn/s/blog_64675f540100sehz.html 3 题意：给定n个点，找到一个点，使得n个点到这个点的和值最小 4 模拟退火法 5 模拟退火的过程 6 1 找到这些点所在的范围，用两个点框定（代码中e1，e2两个点) 7 2 在这个范围内生成NUM个点（NUM自定） 8 3 对于每个生成的点i，在其周围生成NUM个点，一旦有点优于i，则替换。 9 4 缩小范围D，若D<精度，退出，否则执行 3 10 5 遍历所有NUM个点，找到val的最大值 11 */ 12 #include <iostream> 13 #include <cstdio> 14 #include <cstdlib> 15 #include <cmath> 16 #include <cstring> 17 #include <string> 18 #include <algorithm> 19 #include <set> 20 #include<map> 21 #include<ctime> 22 using namespace std; 23 const int NUM=30; 24 const int RAD=1000; 25 struct point 26 { 27 double x,y,val; 28 point(){} 29 point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){} 30 }p[1001],May[NUM],e1,e2; 31 int n; 32 double dis(point a,point b) 33 { 34 return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y)); 35 } 36 double judge(point t)//评价函数，得到点t的评价值val 37 { 38 double len=0; 39 for(int i=0;i<n;i++) 40 len=max(len,dis(t,p[i])); 41 return len; 42 } 43 double Rand(){return rand()%(RAD+1)/(1.0*RAD);}//随机产生0-1的浮点数 44 point Rand_point(point a,point b)//在a,b框定的四边形内随机生成点 45 { 46 point tmp=point(a.x+(b.x-a.x)*Rand(),a.y+(b.y-a.y)*Rand()); 47 tmp.val=judge(tmp); 48 return tmp; 49 } 50 void solve(double D) 51 { 52 for(int i=0;i<NUM;i++) 53 May[i]=Rand_point(e1,e2);//步骤2 54 while(D>0.01)//步骤 3 55 { 56 for(int i=0;i<NUM;i++) 57 for(int j=0;j<NUM;j++) 58 { 59 point tmp=Rand_point(point(May[i].x-D,May[i].y-D),point(May[i].x+D,May[i].y+D)); 60 if(tmp.val<May[i].val) 61 { 62 May[i]=tmp; 63 } 64 } 65 D*=0.5; 66 } 67 point ans; 68 ans.val=1LL<<45; 69 for(int i=0;i<NUM;i++) 70 if(May[i].val<ans.val) 71 ans=May[i]; 72 printf("(%.1f,%.1f). ",ans.x,ans.y); 73 printf("%0.1f ",ans.val); 74 } 75 int main() 76 { 77 srand(time(0)); 78 e2=point(0,0); 79 while(scanf("%lf%lf%d",&e1.x,&e2.y,&n)!=EOF) 80 { 81 for(int i=0;i<n;i++) 82 { 83 scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y); 84 e1.x=min(e1.x,p[i].x);//框定初始范围 85 e1.y=min(e1.y,p[i].y); 86 e2.x=max(e2.x,p[i].x); 87 e2.y=max(e2.y,p[i].y); 88 } 89 solve(max(e2.y-e1.y,e2.x-e1.x)); 90 } 91 }
2.最小矩形包围所有点（矩形的边平行于坐标轴）
1 #include <stdio.h> 2 #define ARRAY_SIZE 100 3 struct Point { 4 int x; 5 int y; 6 }; 7 struct Point p[ARRAY_SIZE]; 8 int main(void) { 9 int i, n; 10 int min_x, max_x, min_y, max_y; 11 scanf("%d", &n); 12 for(i = 0; i < n; ++i) 13 scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y); 14 min_x = max_x = p[0].x; 15 min_y = max_y = p[0].y; 16 for(i = 1; i < n; ++i) { 17 if(min_x > p[i].x) 18 min_x = p[i].x; 19 if(max_x < p[i].x) 20 max_x = p[i].x; 21 if(min_y > p[i].y) 22 min_y = p[i].y; 23 if(max_y < p[i].y) 24 max_y = p[i].y; 25 } 26 printf("%d %d %d %d ", min_x, min_y, max_x, max_y); 27 return 0; 28 }
3.最小矩形包围所有点（矩形的边可以不平行于坐标轴）例题：2017_SWERC_K
1 //最小矩形包围点 2 #include <bits/stdc++.h> 3 typedef long long ll; 4 using namespace std; 5 //平面点的结构体模板 6 struct Point{ 7 double x,y; 8 Point(){} 9 Point(double _x,double _y){ x=_x; y=_y; } 10 Point operator + (Point p){ return Point(x+p.x,y+p.y); } 11 Point operator - (Point p){ return Point(x-p.x,y-p.y); } 12 Point operator * (double d){ return Point(d*x,d*y); } 13 double dot(Point p){ return x*p.x+y*p.y; } //内积 14 //外积，外积等于0则两点连线过原点或矢量平行，>0则连线斜率>45°，<0则连线斜率<45° 15 double det(Point p){ return x*p.y-p.x*y; } 16 }ps[200010]; 17 //加上操作变成凸包模板 18 int n; 19 bool cmpxy(const Point &p,const Point &q){ //排序 20 if(p.x!=q.x) return p.x<q.x; 21 return p.y<q.y; 22 } 23 vector<Point> convex_hull(Point *ps,int n){ 24 sort(ps,ps+n,cmpxy); 25 int k=0; 26 vector<Point> qs(n*2); //构造中的凸包 27 for(int i=0;i<n;++i){ //构造凸包的下侧 28 //相邻边的叉积大于0 29 while(k>1 && (qs[k-1]-qs[k-2]).det(ps[i]-qs[k-1])<=0)--k; 30 qs[k++]=ps[i]; 31 } 32 for(int i=n-2,t=k;i>=0;--i){ //构造凸包的上侧 33 //相邻边的叉积小于0 34 while(k>t && (qs[k-1]-qs[k-2]).det(ps[i]-qs[k-1])<=0)--k; 35 qs[k++]=ps[i]; 36 } 37 qs.resize(k-1); //去掉重复的左下角点 38 return qs; 39 } 40 double dist(Point p,Point q){ //两点距离平方 41 return (p-q).dot(p-q); 42 } 43 int main() 44 { 45 int n,r; 46 while(~scanf("%d%d",&n,&r)&&n) 47 { 48 for(int i=0;i<n;i++) 49 { 50 scanf("%lf%lf",&ps[i].x,&ps[i].y); 51 } 52 vector<Point> qs=convex_hull(ps,n); 53 int p=1; 54 double len; 55 int sz=qs.size(); 56 if(sz==2) 57 { 58 printf("0.000000000 "); 59 continue; 60 } 61 double minofmaxh=2.0*r; 62 qs[sz]=qs[0]; 63 for(int i=0;i<sz;i++) 64 { 65 len=sqrt(dist(qs[i],qs[i+1])); 66 while(true) 67 { 68 double h=fabs((qs[i]-qs[i+1]).det(qs[p]-qs[i+1]))/len; 69 if(p<sz-1) 70 { 71 double h1=fabs((qs[i]-qs[i+1]).det(qs[p+1]-qs[i+1]))/len; 72 if(h1>=h) 73 { 74 p++; 75 } 76 else 77 { 78 minofmaxh=min(minofmaxh,h); 79 break; 80 } 81 } 82 else 83 { 84 double h1=fabs((qs[i]-qs[i+1]).det(qs[0]-qs[i+1]))/len; 85 if(h1>=h) 86 { 87 p=0; 88 } 89 else 90 { 91 minofmaxh=min(minofmaxh,h); 92 break; 93 } 94 } 95 } 96 } 97 printf("%.10lf ",minofmaxh); 98 } 99 return 0; 100 }
4.
以上是关于覆盖点问题总结的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章