ACM-ICPC 2018 沈阳赛区网络预赛 G. Spare Tire

Posted 2021-01-05 bluefly-hrbust

这题很好啊，好在我没做出来。。。大概分析了一下，题目大概意思就是求

问所有满足1<=i<=n且i与m互素的ai之和

最开始我们队的做法是类似线性筛的方法去筛所有数，把数筛出来后剩下数即可，但是这样的是时间复杂度十分大，我们需要遍历每个质因

的倍数，这样最坏的复杂度是很大的1e8，因为我们需要把i的倍数筛到1e8，这样肯定不行，那么想想其他办法

我们想到了容斥-----（赛后想到的）

我们可以推处一个公式ai=i*i+i;

那么ai的前n项和Tn=n*(n+1)*(2*n+1)/6+n*(n+1)/2;

我们知道了前N项和，再减去和M不互质的数的贡献即可，那么怎么利用上面式子算贡献呢？？？

根据算数基本定理将m分解，与m不互素的就是至少有其中一个因子，算所有的所以要容斥

对于每个因子积sum，会形成sum,2*sum,3*sum...[n/sum]*sum这些不互素的数，

设k=[n/sum],我们把这些数提出一个sum

那么这些数变成了sum*(1+2+3+....+k)那么在这个sum下，这个贡献T=k*(k+1)*(2*k+1)/6*i*i+k*(k+1)/2*i;

有人回想为什么？？需要乘以i*i和i呢？？我们可以看一下原来的an=i*i+i；那么前an=(k*i)*(k*i)+k*i=i*i*k*k+k*i;

如果没看懂，可以看看这个

https://blog.csdn.net/lngxling/article/details/82530798

我的代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod = 1e9+7;
ll inv6=166666668;
ll inv2=500000004;
ll a[10005];
ll sum(ll n,ll i){
   n=n/i;
   ll ans=((n%mod)*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod*inv6%mod*i%mod*i%mod+n%mod*(n+1)%mod*inv2%mod*i%mod)%mod;
   return ans;
};
int main(){
   long long n,m;
   int cnt;
   int num[20];
   while(~scanf("%lld%lld",&n,&m)){
      int tmp=m;
      cnt=0;
      while(tmp!=1){
         int flag=0;
         for (int i=2;i<=sqrt(m);i++){
            if (tmp%i==0){
                num[cnt]=i;
                cnt++;
                flag=1;
            }
            while(tmp%i==0){
                tmp/=i;
            }
//cout<<"--"<<endl;
         }
        if(flag==0 && tmp!=1){
            num[cnt]=tmp;
            cnt++;
            break;
        }
      }
      ll ans=sum(n,1);
      ll ans2=0;
      //cout<<"--"<<endl;
      for (int i=1;i<(1<<cnt);i++){
          int flag=0;
          ll temp=1;
          for (int j=0;j<cnt;j++)
            if (i&(1<<j))
          {
                 //   cout<<"--"<<endl;
              flag++;
              temp=temp*num[j]%mod;
          }
         // cout<<"---"<<endl;
          temp=sum(n,temp);
          //cout<<"---"<<endl;
          if (flag%2==1)
          {
              ans2=(ans2%mod+temp%mod)%mod;
          }else {
              ans2=(ans2%mod-temp%mod+mod)%mod;
          }
      }
     printf("%lld
",(ans%mod-ans2%mod+mod)%mod);
   }
   return 0;
}